数据结构之线段树

线段树

什么是线段树

线段树,类似区间树,是一个完全二叉树,它在各个节点保存一条线段(数组中的一段子数组),主要用于高效解决连续区间的动态查询问题,由于二叉结构的特性,它基本能保持每个操作的复杂度为O(logn)

经典线段树问题:区间染色

有一面墙,长度为n,每次选择一段墙进行染色

m次操作后,我们可以看见几种颜色?

m次操作后,我们可以在[i,j]区间看见多少种颜色?

使用数组实现 使用线段树
染色操作(更新区间) O(n) O(logn)
查询操作(查询区间) O(n) O(logn)

线段树的基本表示

public class SegmentTree {
        private E[] data;
        private E[] tree;
        public SegmentTree(E[] arr) {
            data = (E[]) new Object[arr.length];
            for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
                data[i] = arr[i];
            }
            tree = (E[]) new Object[4 * arr.length];
        }
        public E get(int index) {
            if (index < 0 || index >= data.length) {
                throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
            }
            return data[index];
        }
        public int getSize() {
            return data.length;
        }
        // 返回完全二叉树的数组表示中,一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
        private int leftChild(int index){
            return 2 * index + 1;
        }
        // 返回完全二叉树的数组表示中,一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
        private int rightChild(int index){
            return 2 * index + 2;
        }
    }

如何在线段树中查询2,5

首先我们先得到根节点,我们会发现2在0……3区间中,而5在4……7区间中。

这样的话我们可以拿到根节点的两个子节点。

0……3的左孩子不包含2……3节点所以我们去获取右孩子节点即可,4……7同理。

之后我们将两个节点组合起来即可。

创建线段树及查询

public interface Merger {
    E merge(E a,E b);
}
public class SegmentTree {
        private E[] data;
        private E[] tree;
        private Merger merger;
        public SegmentTree(E[] arr, Merger merger) {
            data = (E[]) new Object[arr.length];
            for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
                data[i] = arr[i];
            }
            tree = (E[]) new Object[4 * arr.length];
            buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
            this.merger = merger;
        }
        //在treeIndex的位置创建表示区间【l...r】的线段树
        private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {
            if (l == r) {
                tree[treeIndex] = data[l];
                return;
            }
            int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
            int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
            int mid = l + (r - l) / 2;
            buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
            buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);
            tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
        }
        public E get(int index) {
            if (index < 0 || index >= data.length) {
                throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
            }
            return data[index];
        }
        public int getSize() {
            return data.length;
        }
        // 返回完全二叉树的数组表示中,一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
        private int leftChild(int index) {
            return 2 * index + 1;
        }
        // 返回完全二叉树的数组表示中,一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
        private int rightChild(int index) {
            return 2 * index + 2;
        }
        //返回区间值[queryL,queryR]
        public E query(int queryL, int queryR) {
            if (queryL < 0 || queryR >= data.length || queryR < 0 || queryR >= data.length || queryL > queryR) {
                throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
            }
            return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
        }
        //在以treeID为根的线段树中【l...r】的范围里,搜索区间【queryL...queryR】的值
        private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {
            if (l == queryL && r == queryR) {
                return tree[treeIndex];
            }
            int mid = l + (r - l) / 2;
            int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
            int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
            if (queryL >= mid + 1) {
                return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
            } else if (queryR <= mid) {
                return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
            }
            E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
            E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
            return merger.merge(leftResult, rightResult);
        }
        //将index位置的值,更新为e
        public void set(int index, E e) {
            if (index < 0 || index >= data.length) {
                throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
            }
            data[index] = e;
            set(0, 0, data.length - 1, index, e);
        }
        // 在以treeIndex为根的线段树中更新index的值为e
        private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e) {
            if (l == r) {
                tree[treeIndex] = e;
                return;
            }
            int mid = l + (r - l) / 2;
            int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
            int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
            if (index >= mid + 1) {
                set(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);
            } else {
                set(leftTreeIndex, l, mid, index, e);
            }
            tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
        }
}

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