LeetCode91-解码方法

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下方式进行了编码：

'A' -> 1
'B' -> 2
...
'Z' -> 26

给定一个只包含数字的非空字符串，请计算解码方法的总数。

示例 1:

输入: "12"
输出: 2
解释: 它可以解码为 "AB"（1 2）或者 "L"（12）。

示例 2:

输入: "226"
输出: 3
解释: 它可以解码为 "BZ" (2 26), "VF" (22 6), 或者 "BBF" (2 2 6) 。

一、思路

（一）动态规划

这个问题求的是一个字符串最多能有几种解码方案？

接下来，我想和大家讨论一些有关动态规划中遇到的问题，简而言之，就是两类动态规划思考问题的角度吧。

1、从子问题划分的角度来看

设$f(i,j)$表示从第$i$个字符开始（包括第i个字符），到第$j$个字符（不包括第j个字符）的字符串所拥有的解码方案数量

$f(1,n+1)={\sum }_{k=1}^n[f(1,k)\ast f(k,n+1)]$

接下来看看初始条件：
（1）$f(i,i+1)=1$，字符串长度仅仅为1
（2）$f(i,i+2)=1or2$，字符串长度为2，需要判断这两个字符是否小于等于26
（2）$f(i,i+3)=1or2$，字符串长度为3，可以按照上面的公式进行计算

于是我们可以确定计算的先后顺序：
（1）计算出长度为1的所有字符串的解码方案数
（2）计算出长度为2的所有字符串的解码方案数
（3）计算出长度为3的所有字符串的解码方案数
…
（n）计算出长度为n的所有字符串的解码方案数

看似没有什么问题，实际上虽然划分出来的子问题没有交集，但是却存在重复计入的问题，我们知道每个字符串都有一种共同的拆分方法，即：拆分成单个字符

因此会出现重复计入的问题，最后的计算结果是有问题的，并且目前没有找到解决的办法

个人看法：其根源在于只能出现一次全部为单个字符的组合，但是每次计算的时候，又不得不把这一组合计入其中，所以从根本上来说这个方法就是错的，子问题的划分上就除了问题

2、从问题的结果的角度来看

假设输入的字符串长度为n，$f(n)$表示长度为n的字符串所拥有的解码方案数量。

那么这个结果是怎么来的呢？

（1）长度为n-1的字符串的解码方案数*第n个字符的解码方案数

（2）长度为n-2的字符串的解码方案数*第n-1与n个字符
注：这里需要判断最后两个字符能否解码，不能，则要消去这一项

这题还有个坑就是0，0必须与1或者2组合起来形成10或者20，否则就算输入错误，返回0

C++代码：

class Solution {
public:
	int numDecodings(string s) {
		if (s[0] == '0')
			return 0;
		// 添加0好对齐
		s = "0" + s;
		vector dp(s.size());
		dp[0] = 1;
		dp[1] = 1;
		for (int i = 2; i < s.size() ; i++) {
			int temp = (s[i - 1] - '0') * 10 + (s[i] - '0');
			if (s[i] == '0') {
				if (temp < 27 && temp > 0)
					dp[i] = dp[i - 2];
				else
					return 0;
			}
			else if (s[i - 1] == '0') {
				dp[i] = dp[i - 1];
			}
			else {
				if (temp < 27)
					dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
				else
					dp[i] = dp[i - 1];
			}
		}
		return dp[s.size() - 1];
	}
};

执行效率：