JAVA: 整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）（变型：整数中k出现的次数）

题目：求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数。

参考：点击打开链接

分析：

考虑将n的十进制的每一位单独拿出讨论，每一位的值记为weight。

1) 个位

从1到n，每增加1，weight就会加1，当weight加到9时，再加1又会回到0重新开始。那么weight从0-9的这种周期会出现多少次呢？这取决于n的高位是多少，看图： 

以534为例，在从1增长到n的过程中，534的个位从0-9变化了53次，记为round。每一轮变化中，1在个位出现一次，所以一共出现了53次。 
再来看weight的值。weight为4，大于0，说明第54轮变化是从0-4，1又出现了1次。我们记1出现的次数为count，所以： 
count = round+1 = 53 + 1 = 54
如果此时weight为0（n=530），说明第54轮到0就停止了，那么： 
count = round = 53

2) 十位

对于10位来说，其0-9周期的出现次数与个位的统计方式是相同的，见图： 

不同点在于：从1到n，每增加10，十位的weight才会增加1，所以，一轮0-9周期内，1会出现10次。即rount*10。 
再来看weight的值。当此时weight为3，大于1，说明第6轮出现了10次1，则： 
count = round*10+10 = 5*10+10 = 60
如果此时weight的值等于0（n=504），说明第6轮到0就停止了，所以： 
count = round*10+10 = 5*10 = 50
如果此时weight的值等于1（n=514） ，那么第6轮中1出现了多少次呢？很明显，这与 个位数的值有关，个位数为k，第6轮中1就出现了k+1次(0-k)。 我们记个位数为former，则： 
count = round*10+former +1= 5*10+4 = 55

3) 更高位

更高位的计算方式其实与十位是一致的，不再阐述。

4) 总结

将n的各个位分为两类：个位与其它位。 
对个位来说：

• 若个位大于0，1出现的次数为round*1+1
• 若个位等于0，1出现的次数为round*1

对其它位来说，记每一位的权值为base，位值为weight，该位之前的数是former，举例如图： 

则：

• 若weight为0，则1出现次数为round*base
• 若weight为1，则1出现次数为round*base+former+1

• 若weight大于1，则1出现次数为rount*base+base

 当某一位的数字小于k时，那么该位出现i的次数为：更高位数字x当前位数 
 当某一位的数字等于k时，那么该位出现i的次数为：更高位数字x当前位数+低位数字+1 
 当某一位的数字大于k时，那么该位出现i的次数为：(更高位数字+1)x当前位数

代码：

package Solution19;

// 求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？
// 为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。
// ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数。

public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        if (n < 1)
            return 0;
        int count = 0;
        int base = 1;
        int round = n;
        while (round > 0) {
            int weight = round % 10;  //round的最后一位数,从个位数开始
            round /= 10;
            count += round * base;
            if (weight == 1)
                count += (n % base) + 1;
            else if (weight > 1)
                count += base;
            base *= 10;
        }
        return count;
    }
}

6. 时间复杂度分析

由分析思路或者代码都可以看出，while循环的次数就是n的位数,logn（以10为底），而循环体内执行的操作都是有限次的，所以时间复杂度为O(logn)。

变型：计算数字k在0到n中的出现的次数，k可能是0~9的一个值

分析：此情形需要特殊考虑k=0的情况，其余情况与上述k=1情况类似。

//计算数字k在0到n中的出现的次数，k可能是0~9的一个值
    public int digitCounts(int k, int n) {
        // write your code here
        if(n<1 || k<0)  return 0;
        if(k==0 && n<10) return 1;   //考虑特殊情况
        int count=0;
        int base=1;
        int round=n;
        while(round>0){
            int weight=round %10;  //round的最后一位，从个位开始
            round/=10;
            count+=round*base;  //更高位数字*当前位数
            if(weight==k){
                count+=(n%base)+1;
            }else if(weight