Gamma分布

Gamma分布

Problem

随机事件T在单位时间内发生的平均频数是λ，求事件T发生第α次所需要的时间所服从的分布。

求解

首先将问题离散化，设单位时间为1，将单位时间拆分成N等份，当N足够大时可以假定在每个时间间隔上事件T只有发生和没有发生2种可能，其中发生的概率为,于是乎，第α次发生所经历的时间间隔总数N的服从概率为：

对F求微分，即可得到时间x的概率分布

很明显，伽马分布可以看作是指数分布的推广，也可以看作是负二项分布的连续形式。

即为伽马分布的概率密度函数。

Conclusions

1. Gamma分布是负二项分布的连续泛化；
2. 伽马分布也是指数分布发生次数多次的泛化，α 等于1时即退化为指数分布；
3. 伽马分布的可加性：根据Gamma分布的定义有X~Ga(a,λ），Y~Ga(b,λ），则Z = X+Y ~ Ga(a+b,λ）；
4. 伽马分布可以用来对时间进行建模，也可以用来近似计算负二项分布。