【bzoj5015】[Snoi2017]礼物

Description

热情好客的请森林中的朋友们吃饭，他的朋友被编号为 1～N，每个到来的朋友都会带给他一些礼物：。其中，第
一个朋友会带给他 1 个，之后，每一个朋友到来以后，都会带给他之前所有人带来的礼物个数再加他的编号的 K
次方那么多个。所以，假设 K=2，前几位朋友带来的礼物个数分别是：1,5,15,37,83假设 K=3，前几位朋友带来的
礼物个数分别是：1,9,37,111现在，好奇自己到底能收到第 N 个朋友多少礼物，因此拜托于你了。已知 N,K请输
出第 N 个朋友送的礼物个数 mod1000000007。
PDF题面:www.lydsy.com/JudgeOnline/upload/gift.pdf
Input

第一行，两个整数 N,K
N≤10^18,K≤10
Output

一个整数，表示第 N 个朋友送的礼物个数 mod1000000007。
Sample Input

4 2
Sample Output

37

题解
显然矩阵乘法，关键在于i^k。
我们知道(i+1)^k分解后系数为杨辉三角数，因此我们可以利用i^k,i^(k-1)……i^0推导出(i+1)^k……(i+1)^0

代码

#include
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#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define mod 1000000007
#define ll long long 
#define N 25
#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll n;
int k,ans[N][N],a[N][N],b[N][N],fac[N];
void mul(int a[N][N],int b[N][N],int c[N][N])
{
    int tmp[N][N];
    for (int i=1;i<=k;i++)
        for (int j=1;j<=k;j++)
        {
            tmp[i][j]=0;
            for (int x=1;x<=k;x++)
                tmp[i][j]=(tmp[i][j]+(ll)a[i][x]*b[x][j]%mod)%mod;
        }
    for (int i=1;i<=k;i++)
        for (int j=1;j<=k;j++)
            c[i][j]=tmp[i][j];
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);k=read()+1;n-=2;
    fac[1]=1;
    for (int i=2;i<=k;i++) fac[i]=fac[i-1]*2%mod;fac[k+1]=1;
    a[1][1]=1;
    for (int i=2;i<=k;i++)
        for (int j=1;j<=i;j++)
            a[i][j]=(a[i-1][j]+a[i-1][j-1])%mod;
    k++;a[k][k-1]=1;a[k][k]=2;
    for (int i=1;i<=k;i++)
        for (int j=1;j<=k;j++) b[i][j]=a[i][j];
    for (int i=1;i<=k;i++) ans[i][i]=1;
    while (n)
    {
        if (n&1) mul(ans,a,ans);
        n>>=1;
        mul(a,a,a);
    }
    int ANS1=0;
    for (int i=1;i<=k;i++) ANS1=(ANS1+(ll)fac[i]*ans[k][i]%mod)%mod;
    mul(ans,b,ans);
    int ANS2=0;
    for (int i=1;i<=k;i++) ANS2=(ANS2+(ll)fac[i]*ans[k][i]%mod)%mod;
    printf("%d",(ANS2-ANS1+mod)%mod);
    return 0;
}