【题解】洛谷P1052过河[NOIP2005T2] 线性DP

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题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点： 0,1,…,L0,1,…,L （其中 LL 是桥的长度）。坐标为 00 的点表示桥的起点，坐标为 LL 的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是 SS 到 TT 之间的任意正整数（包括 S,TS,T ）。当青蛙跳到或跳过坐标为 LL 的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度 LL ，青蛙跳跃的距离范围 S,TS,T ，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有 11 个正整数 L(1≤L≤10 ^9) ，表示独木桥的长度。
第二行有 33 个正整数 S,T,M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离及桥上石子的个数，其中1≤S≤T≤10,1≤M≤100。
第三行有 M个不同的正整数分别表示这 M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

输入输出样例

输入样例#1：
10
2 3 5
2 3 5 6 7
输出样例#1：
2

说明

对于30%的数据，L≤10000；

对于全部的数据，L≤10^9。

2005提高组第二题

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题解

L<=1e9 orz… 但是S,T<=10,M<=100说明实际上在这个非常长的桥上石子非常稀，于是就可以路径压缩（所以说可以归到状压DP一类）
用f[i]表示坐标为i时所能踩石子的最少个数
状态转移方程
if(i有石子)f[i]=min(f[i],f[i-j]+1)
else f[i]=min(f[i],f[i-j])
首先对石子位置升序排序，计算两两石子间的距离,如果距离<=t，则a[i]=a[i-1]+d[i]
如果距离大于t,a[i]=a[i-1]+t+(d[i]%t)
注意取p的范围，就是要在压缩的路程后面加一个t，因为不一定最后一个点刚好是石头最少的，可能是p+1，p+2，所以要从它转移过来，应该循环到p+t

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1e4+5;
int dp[N],stone[200],a[N],k[200],d[200],t,m,n,b[N],l,p,s;
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d%d%d",&l,&s,&t,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&stone[i]);
    stone[0]=0;
    a[0]=0;
    sort(stone+1,stone+n+1);//排序
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        d[i]=stone[i]-stone[i-1];//取两石子间的距离
        k[i]=d[i]%t;//对距离取模以压缩路径
        if(d[i]<=t+k[i])
        a[i]=a[i-1]+d[i];//a为压缩后的路径
        else a[i]=a[i-1]+t+k[i];
        b[a[i]]=1;//对石子进行标记 
    } 
    p=a[n]+t+(l-a[n])%t;
    memset(dp,0x7f,sizeof(dp));
    dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=p+t-1;i++)
    for(int j=s;j<=t;j++)//dp过程 
    {
        if(i-j>=0&&i-jif(b[i])
            dp[i]=min(dp[i-j]+1,dp[i]);
            else dp[i]=min(dp[i-j],dp[i]);
        }
    }
    int mx=200;
    for(int i=p;i<=p+t-1;i++)
    mx=min(mx,dp[i]);
    printf("%d\n",mx);
    return 0;
}