【luogu 1052】 【NOIP2005 提高组】过河【状态压缩】
题目描述
在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点： 0 , 1 , … , L 0,1,…,L 0,1,…,L（其中LL是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括 S , T S,T S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围 S , T S,T S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。
输入格式
第一行有 1 1 1个正整数 L ( 1 ≤ L ≤ 1 0 9 ) L(1≤L≤10^9) L(1≤L≤109)，表示独木桥的长度。
第二行有 3 3 3个正整数 S , T , M S,T,M S,T,M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离及桥上石子的个数，其中 1 ≤ S ≤ T ≤ 10 , 1 ≤ M ≤ 100 1≤S≤T≤10,1≤M≤100 1≤S≤T≤10,1≤M≤100。
第三行有 M M M个不同的正整数分别表示这 M M M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。
输出格式
一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。
输入输出样例
输入 #1
10
2 3 5
2 3 5 6 7
输出 #1
2
说明/提示
对于 30 30 30%的数据， L ≤ 10000 L≤10000 L≤10000；
对于全部的数据 L ≤ 1 0 9 L≤10^9 L≤109 。
2005 2005 2005提高组第二题
解题思路
Step 1 理解题意：
在做这道题之前，一定要理解好题意，有一个需要特别注意注意的地方：
青蛙不是一定要跳到石头上,而是指青蛙尽量不踩石头的情况下还要跳到多少个石头上 （对不起我的语文老师） 。
Step 2 状态转移方程:
这是一个比较简单方程式。
首先设 f [ i ] f[i] f[i]为走到第i点上的最少踩石子数则在前面 ( i − s ) (i-s) (i−s)到 ( i − t ) (i-t) (i−t)的点都可以改变i点的值,因此我们可以取 f [ i − s ] − f [ i − t ] f[i-s]-f[i-t] f[i−s]−f[i−t]之中的最小值，另外如果有石头就加上1，如果没有就不加值，这里我们直接用 f l a g [ i ] flag[i] flag[i]表示该点有无石头(有则为1，无则为0)。
因此我们可以写出状态转移方程式:
f [ i ] = m i n ( f [ i − j ] + f l a g [ i ] ) ( s < = j < = t ) f[i]=min(f[i−j]+flag[i])(s<=j<=t) f[i]=min(f[i−j]+flag[i])(s<=j<=t)
Step 3 路径压缩 :
如果我们定义一个 f [ 1 0 9 ] f[10^9] f[109]的数组，这肯定是会爆内存的——所以。。。
我们需要使用一种方法——（就是上方那四个大字），目的是要找到两石同相隔较长时直接缩短的方法。（前方高能,请数学学科恐惧症患者尽快撤离！！！）
据巨佬介绍，这道题路径压缩的思路就是
NOIP2017 提高组D1T1——小凯的疑惑！！！！(请点击并看完这篇博客）
好的，我相信你看完了他。。。
于是我们可以得到压缩路径的方法：若两个石子之间的距离 > t ∗ ( t − 1 ) > t*(t-1) >t∗(t−1) ，则将他们的距离更改为 t ∗ ( t − 1 ) t*(t-1) t∗(t−1)。因为 t < = 10 t<=10 t<=10，因此我们可以直接将大于 10 ∗ 9 10*9 10∗9的距离直接化为90.
但是要注意，对于 s = t s=t s=t这种特殊情况，这种方法是不成立的应为在这种情况下，每次是不能够走 p + 1 p+1 p+1步的，因此需要另外特殊判断。
__
代码
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int l,bsy,ans,a[110],f[10010],far[10010],flag[10100];
int s,t,m;
int main(){
scanf("%d",&l);
scanf("%d%d%d",&s,&t,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
if(a[i]%s==0)
bsy++;
}
if(s==t)//特判
{
printf("%d",bsy);
return 0;
}
sort(a+1,a+m+1);
far[m+1]=min(l-a[m],100);//最后一个点到终点的距离
l=0;
for(int i=1;i<=m;i++)//路径压缩
{//存储缩短后的距离并标记石头位置
far[i]=min(a[i]-a[i-1],90);
l+=far[i];
flag[l]=1;
}
l+=far[m+1];
for(int i=1;i<=l+9;i++)
{
f[i]=2147483640;
for(int j=s;j<=t;j++)
{
if(i>=j)
f[i]=min(f[i],f[i-j]+flag[i]);
}
}
ans=2147483640;
for(int i=l;i<=l+9;i++)//因为青蛙可以跳出边界且t<=10因此再终点后l-l+9中取最小值
ans=min(ans,f[i]);
printf("%d",ans);
}