leetcode1510. 石子游戏 IV（Python3）

leetcode1510. 石子游戏 IV

Alice 和 Bob 两个人轮流玩一个游戏，Alice 先手。

一开始，有 n 个石子堆在一起。每个人轮流操作，正在操作的玩家可以从石子堆里拿走 任意 非零 平方数 个石子。

如果石子堆里没有石子了，则无法操作的玩家输掉游戏。

给你正整数 n ，且已知两个人都采取最优策略。如果 Alice 会赢得比赛，那么返回 True ，否则返回 False 。

示例 1：

输入：n = 1
输出：true
解释：Alice 拿走 1 个石子并赢得胜利，因为 Bob 无法进行任何操作。

示例 2：

输入：n = 2
输出：false
解释：Alice 只能拿走 1 个石子，然后 Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（2 -> 1 -> 0）。

示例 3：

输入：n = 4
输出：true
解释：n 已经是一个平方数，Alice 可以一次全拿掉 4 个石子并赢得胜利（4 -> 0）。

示例 4：

输入：n = 7
输出：false
解释：当 Bob 采取最优策略时，Alice 无法赢得比赛。
如果 Alice 一开始拿走 4 个石子， Bob 会拿走 1 个石子，然后 Alice 只能拿走 1 个石子，Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（7 -> 3 -> 2 -> 1 -> 0）。
如果 Alice 一开始拿走 1 个石子， Bob 会拿走 4 个石子，然后 Alice 只能拿走 1 个石子，Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（7 -> 6 -> 2 -> 1 -> 0）。

示例 5：

输入：n = 17
输出：false
解释：如果 Bob 采取最优策略，Alice 无法赢得胜利。

提示：

• 1 <= n <= 10^5

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方法：动态规划

思路：

本题使用动态规划来解决，因为游戏是一步一步的，有20个石子是否能赢与有19个石子、16个、11个、4个…是否能赢是相关的。

我们使用dp[i]来表示，剩余i个石子，先手者是否能赢，1表示能赢，0表示不能。因此本题的答案即为dp[n]。

我们先考虑状态转移方程，**当面对i个石子时，他可以拿走非零平方数个石子，那么剩余i-j^2个石子，这时另一个人面对的这些石子能不能赢就是dp[i-j^2]，如果所有的dp[i-j^2]均为1，那么就意味着先手者无论拿多少个石子，后手者都可以赢，所以先手者一定输，dp[i] = 0。反之，如果存在一个dp[i-j^2]为0，那么先手者就有可能赢。**因此状态转移方程为：
$$dp[i]=not(dp[i-1]\ast dp[i-4]\ast ...\ast dp[i-j^2])j^2<i$$
我们考虑初始条件，dp[0] = 0，对于其他的非零平方数，dp[j^2] = 1，因为此时先手者直接拿走j ^ 2个石子即可赢。

最后返回dp[n]是否等于1即可。

代码：

class Solution:
    def winnerSquareGame(self, n: int) -> bool:
        #dp[i]表示剩余i个石子时，先手者能不能赢得比赛,1表示能赢，0表示不能，
        #因此，答案为 dp[n]==1
        dp = [0 for _ in range(n+1)]
        i = 1
        #剩余数量为非零平方数时，可以一次赢得比赛，置为1
        while i**2 <= n:
            dp[i**2] = 1
            i += 1
        #遍历，开始填写dp数组
        for i in range(1,n+1):
            #dp[i]已经为1的情况，跳过
            if not dp[i]:
                j = 1
                #判断拿走j**2个石子之后，对方能不能赢
                while j**2 < i:
                    # 如果拿走某种j**2之后，对方不能赢，那么dp[i] = 1
                    # 如果所有的情况，对方都能赢，那么dp[i]=0
                    if not dp[i-j**2]:
                        dp[i] = 1
                        break
                    else:
                        j += 1
        return dp[n] == 1

结果：