【SCOI2009】游戏

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P4161

　　观察发现，操作次数可以为，且一定存在为：0到n；
　　再观察，操作次数还可以为：把n个点分成“若干个环”后，“若干个环”大小的lcm。 这里，“若干个环”的大小就是组成它们的点的个数，而点的个数之和就是n。
　　发现：直接找“累加起来小于等于n”的k个数的lcm的所有情况很难，于是正难则反：列举每个lcm ，lcm由k个数累积得到，且k个数的和是n。
　　现在找一个合法答案：k个数的积大于n，且它们的和小于等于n。（小于n可以用那种自己对应自己的数补上）
　　问题转变为：有多少种大于n的lcm，使得lcm的若干因子之和小于等于n。

　　新出现的题目特性：对于一个lcm，它的因子有多种可能性，但是只要存在一种分解方案，使所有因子之和小于n，那么这个lcm就可行。

　　那么现在考虑：对于给定的一个大于n的lcm，它的因子怎样能不合法——答案是使这些“因子”的和大于n。

　　假设我们现在有k个合法因子，它们的积是给定的lcm，它们的和小于n。那么要把它们怎样变化，使得这“k个因子”朝着“不合法”的边界靠近？
　　——答案是把“k个因子”其中的那么一两个乘起来，这样这些数的和会大一些，朝着不合法的方向演变。
　　既然知道了怎样向着不合法的方向演变，那也就知道了怎么向合法的方向演变——把k个因子中的所有合数分解成质数。这样我们就可以说：如果连这k'个质数的
和都大于了n，那么这个lcm肯定不行。

　　好的，现在知道要把每个lcm唯一分解成质数了（这里可以顺带了解一下算数基本定理），但是目前我们只是知道要去找lcm。不可能一个个查找lcm吧？
　　所以这里再来一次正难则反。
　　问题转变为：找出所有小于n的质数，并求出：用它们进行合法组合（累和小于等于n）产生的lcm的可能情况的最大个数。
　　我们知道：三个互不相等的素数的两两积一定不相等，因此题目又成为：给定n的空间上限，求一个组合背包问题。

　　于是这道题从一个数论题变成了背包问题。。

　　该说不愧是紫题，能把一个背包打扮得这么好康。。

　　模拟考的时候这题直接炸啦。。

　　黑字为：我考试的时候没想到的东西

附代：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std; 
long long n; 
bool vv[1101];   //判断是否为合数 
long long v[1101];     //存素数 
long long flag;
long long dp[1101][1101];//dp[i][j]表示 前i个质数总和小于等于 j 的最大情况数 
void eratosthenes(long long x){//筛选n以前的质数 
    
    for(long long i=2; i<=n; i++){
        if(vv[i])continue;
        flag++;
        v[flag]=i;
        for(long long j=1;j<=n/i;j++){
            vv[i*j]=1;
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    if(n==1){        //为了这个点我RE了三次。。。 
        cout<<1;
        return 0;
    }
    eratosthenes(n); 
    sort(v+1,v+flag);

    for(long long i=0;i<=1100;i++){
        dp[0][i]=1;
        dp[i][0]=1;
    }
    for(long long i=1; i<=flag; i++){//这里dp数组可以压成近似一维，存j空间内可以有的lcm种数 
        for(long long j=1; j<=n; j++){//目前有j的空间 
            
            if(j<v[i]){
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
                continue;
            }
            for(long long k=-1; pow(v[i],k)<=j; k++){
                if(k==0)continue;
                dp[i][j]+=dp[i-1][j-(long long)pow(v[i],k)];
                
            }
        }
    }
    cout<<dp[flag][n];
}

 

转载于:https://www.cnblogs.com/snowysniper/p/11331468.html