luogu P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 题解

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}lcm(i,j)$$
（以下简称为原式）
$$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}$$
枚举d=gcd(i,j)，令
$$x=\frac{i}{d}$$
$$y=\frac{j}{d}$$
则

原式
$$=\sum _{d=1}^n\sum _{x=1}^{[\frac{n}{d}]}\sum _{y=1}^{[\frac{m}{d}]}dxy[gcd(x,y)==1]$$
$$=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{x=1}^{[\frac{n}{d}]}\sum _{y=1}^{[\frac{m}{d}]}xy[gcd(x,y)==1]$$
为了方便起见，我们令
$$N=[\frac{n}{d}]$$
$$M=[\frac{m}{d}]$$
$$f(p)=\sum _{x=1}^N\sum _{y=1}^{M}xy[gcd(x,y)==p]$$
然后套路地莫比乌斯反演：

令
$$F(p)=\sum _{p|d}f(d)$$
$$=\sum _{p|d}\sum _{x=1}^N\sum _{y=1}^{M}xy[gcd(x,y)==d]$$
$$=\sum _{x=1}^N\sum _{y=1}^{M}xy[d|x][d|y]$$
$$=\sum _{x=1}^{N}x[d|x]\sum _{y=1}^{M}y[d|y]$$
$$=d^2\sum _{i=1}^{[\frac{N}{d}]}i\sum _{j=1}^{[\frac{M}{d}]}j$$
$$=\frac{d^2[\frac{N}{d}]([\frac{N}{d}]+1)[\frac{M}{d}]([\frac{M}{d}]+1)}{4}$$
故
$$f(1)=\sum _{1|d}\mu (\frac{d}{1})F(d)$$
$$=\sum _{d=1}^N\mu (d)F(d)$$
$$=\sum _{d=1}^N\frac{d^2\mu (d)[\frac{N}{d}]([\frac{N}{d}]+1)[\frac{M}{d}]([\frac{M}{d}]+1)}{4}$$
其中知道了
$$[\frac{N}{d}]$$
和
$$[\frac{M}{d}]$$
就可以O(1)算出
$$[\frac{N}{d}]([\frac{N}{d}]+1)[\frac{M}{d}]([\frac{M}{d}]+1)$$
而
$$d^2\mu (d)$$
的前缀和在线性筛时可以预处理出来
故整除分块可以O(√n)求f(1)
用整除分块枚举本文开头的d也是O(√n)的
综上，时间复杂度O(n)，可过1e7