【BZOJ】3534: [Sdoi2014]重建-变元矩阵树定理

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题解

由于博主还没有系统地学习过矩阵树定理的原理，只能大概地谈一下：

邻接矩阵中是可以带权的，设$w_{i,j}$表示边$(i,j)$的边权，$e_i$表示边。

矩阵中$g_{i,j}=g_{j,i}=w_{i,j},g_{i,i}=-\sum _{j̸=i}{g}_{i,j}$

$n-1$阶主子式的值即所有生成树的边权积之和。

而此题中树$T$的概率$=\prod _{e\in T}{P}_e\prod _{e\notin T}(1-P_e)$

设$g_{i,j}=\frac{P_{(i,j)}}{1-P_{(i,j)}}$

答案就变成了$n-1$阶主子式的值$\times \prod _e(1-P_e)$

p.s 注意精度

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代码

#include
#define eps 1e-10
using namespace std;
typedef double db;
const int N=52;
 
int n;
db a[N][N],g[N][N],ss=1.0;
 
inline db gauss()
{
    db re=1.0,qw;int i,j,k,mx;
    for(i=1;i<n;++i){
        mx=i;
        for(j=i+1;j<n;++j)
         if(fabs(a[j][i])>fabs(a[mx][i])) mx=j;
        if(mx!=i) 
         for(j=i;j<n;++j) swap(a[mx][j],a[i][j]);
        for(k=i+1;k<n;++k)
         if(fabs(a[k][i])>eps){
            qw=a[k][i]/a[i][i];
            for(j=i;j<n;++j)
             a[k][j]-=qw*a[i][j];
         }
    }
    for(i=1;i<n;++i) re*=a[i][i];
    return fabs(re);
}
 
int main(){
    int i,j;db res;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;++i)
        for(j=1;j<=n;++j)
           scanf("%lf",&g[i][j]);
    for(i=1;i<=n;++i){
        for(j=1;j<=n;++j) if(i!=j){
            g[i][j]=max(g[i][j],eps);
            g[i][j]=min(g[i][j],1.0-eps);
            if(i<j) ss*=(1.0-g[i][j]);
            a[i][j]-=g[i][j]/(1.0-g[i][j]);
        }
    }
    for(i=1;i<=n;++i){
        res=0.0;
        for(j=1;j<=n;++j) if(i!=j)
         res-=a[i][j];
        a[i][i]=res;
    }
    printf("%.10lf",gauss()*ss);
    return 0;
}