P5023 填数游戏

题目描述

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天，他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个n×m的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入 一个数字（数字 0或者数字 1），填数时需要满足一些限制。

下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述，我们先给出一些定义：

• 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子，即（行坐标，列坐标）。（注意： 行列坐标均从 00 开始编号）

• 合法路径 P：一条路径是合法的当且仅当：

  1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子(0,0)出发，到矩形的右下角格子 (n−1,m−1)结束；
  2. 在这条路径中，每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子，或者 从当前格子移动到下面与它相邻的格子。
     例如：在下面这个矩形中，只有两条路径是合法的，它们分别是P1​： (0,0) → (0,1) → 1,1)和P2​：(0,0) → (1,0) → (1,1)。

对于一条合法的路径 P，我们可以用一个字符串w(P)来表示，该字符串的长度为n+m−2，其中只包含字符“R”或者字符“D”， 第 i 个字符记录了路径P 中第 i 步的移动 方法，“ R”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子，“ D”表示移动到当前格子下面 与它相邻的格子。例如，上图中对于路径P1​，有 =w(P1​)= "RDRD"；而对于另一条路径P_2P2​， 有w(P_2) =w(P2​)= "DR"。

同时，将每条合法路径 P 经过的每个格子上填入的数字依次连接后，会得到一个长 度为n+m−1的 01 字符串，记为 s(P)。例如，如果我们在格子(0,0)和(1,0)上填入数字 0，在格子(0,1)和(1,1)上填入数字 1（见上图红色数字）。那么对于路径P1​，我们可以得 到 s(P1​)= "011",对于路径P2​，有s(P2​)= "001"。

游戏要求小 D 找到一种填数字0、1 的方法，使得对于两条路径P1​， P2​，如果w(P1​)>w(P2​)，那么必须s(P1​)≤s(P2​)。我们说字符串 a 比字符串 b 小，当且仅当字符串 a 的字典序小于字符串 b 的字典序，字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满 足小 D 的好奇心，小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法，也就是说，有多少种填数字 的方法满足游戏的要求？

小 D 能力有限，希望你帮助他解决这个问题，即有多少种填 0、1 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大，你需要输出答案对10^9+7取模的结果。

输入格式

输入文件共一行，包含两个正整数 n,m，由一个空格分隔，表示矩形的大小。其 中 n 表示矩形表格的行数，m 表示矩形表格的列数。

输出格式

输出共一行，包含一个正整数，表示有多少种填 00、11 的方法能满足游戏的要求。 注意：输出答案对 10^9+7 取模的结果。

输入输出样例

输入 #1

2 2

输出 #1

12

输入 #2

3 3

输出 #2

112

输入 #3

5 5

输出 #3

7136

说明/提示

【样例解释】

【数据规模与约定】

思路

洛谷巨佬

代码：

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int Mod=1e9+7;

long long n,m;

long long ksm(long long a,long long b) {
	long long r=1;
	for(; b; a=a*a%Mod,b/=2)
		if(b&1)
			r=r*a%Mod;
	return r;
}

int main () {
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	if(n>m)
		swap(m,n);
	if(n==1)
		printf("%lld\n",ksm(2,m));
	else if(n==2)
		printf("%lld\n",4*ksm(3,m-1)%Mod);
	else if(n==3)
		printf("%lld\n",112*ksm(3,m-3)%Mod);
	else {
		if(m==n)
			printf("%lld\n",(83*ksm(8,n)%Mod+5*ksm(2,n+7)%Mod)*190104168%Mod);
		else
			printf("%lld\n",(83*ksm(8,n)%Mod+ksm(2,n+8))*ksm(3,m-n-1)%Mod*570312504%Mod);
	}
	return 0;
}

　　

转载于:https://www.cnblogs.com/mysh/p/11357866.html