LCS问题

概念明晰：

- longest common sub-sequences：最长 - 公共 - 子 - 序列

• 子串：按原顺序依次出现，禁止跳过某元素
• 子序列：在保持元素前后关系的前提下，可以跳过某些元素的序列

例题：Common Subsequence(HDU 1159)

解题思路：

• 动态规划：
  一般来说，动态规划分为五个部分：
  1.状态转移方程
  2.表格的初始化
  3.确定循环顺序
  4.复杂度的优化
  5.记录抉择路径

优化过程：

• 对于dp问题，最快的优化方法是手推表格。表格能提供两个信息：dp[i][j]需要用到哪些格子，如何去用这些格子。
• “用到哪些”告诉我们需要保存几维信息，“如何去用”告诉我们方程的形式。比如本题的空间优化方法，不手推表格是很难想到的。

代码：

• 状态转移方程：

if(s[i] == t[j])	
	lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1;
else
	lcs[i][j] = max(lcs[i][j-1] , lcs[i-1][j]);

• 完整代码1（原始正方形dp：124MS 5356K）

​//原始正方形dp：124MS		5356K


#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int maxn = 1005;

string s,t;
int lcs[maxn][maxn];//lcs[i][j]代表两前缀s[1...i] & t[1...j]的LCS 

int GetLCS(){
	int nums = s.length();
	int numt = t.length();
	int i=1 , j=1;
	string::iterator sp,tp;
	memset(lcs,0,sizeof(lcs));
	for(sp = s.begin() ; sp != s.end() ; i++,sp++){
		j=1; 
		for(tp = t.begin() ; tp != t.end() ; j++,tp++){
			if(*sp == *tp)
				lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1;
			else
				lcs[i][j] = max(lcs[i][j-1] , lcs[i-1][j]);
		}
	}
	return lcs[nums][numt];
}

int main(){
	while(cin>>s>>t){
		int ans = GetLCS();
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}​

• 完整代码2（一维dp：46MS 1408K）

​//一维dp：46MS		1408K


#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int maxn = 1005;
string s,t;
int lcs[maxn];
int rec[maxn];//record[i]记录需要用到的上一维的信息

int main(){
	while(cin>>s>>t){
		string::iterator sp , tp;
		int i,j;
		memset(lcs , 0 , sizeof(lcs));
		memset(rec , 0 , sizeof(rec));
		for(sp = s.begin(),i = 1 ; sp != s.end() ; sp++,i++){
			for(tp = t.begin(),j = 1 ; tp != t.end() ; tp++,j++){
				if(*sp == *tp)
					lcs[j] = rec[j-1] + 1;
				else
					lcs[j] = max(rec[j] , lcs[j-1]);
			}
			if(sp+1 == s.end()) break;
			while(j--)
				rec[j] = lcs[j];
		}
		cout<<lcs[j-1]<<endl;
	}
	return 0;
}​