【证明】【一题多解】布尔不等式（union bound）的证明

布尔不等式（Boole’s inequality）也叫（union bound），即并集的上界，描述的是至少一个事件发生的概率（ P(⋃iAi) P ( ⋃ i A i ) ）不大于单独事件（事件之间未必独立）发生的概率之和（ ∑iP(Ai) ∑ i P ( A i ) ）。

即：

P(⋃iAi)≤∑iP(Ai) P ( ⋃ i A i ) ≤ ∑ i P ( A i )

展开即为：

P(A1⋃A2⋃⋯)≤P(A1)+P(A2)+⋯ P ( A 1 ⋃ A 2 ⋃ ⋯ ) ≤ P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ⋯

1. 数学归纳法证明

• 当 n=1 n = 1 时，显然 P(A1)≤P(A1) P ( A 1 ) ≤ P ( A 1 )

• 对于 n n ，如果有： P(⋃ni=1Ai)≤∑ni=1P(Ai) P ( ⋃ i = 1 n A i ) ≤ ∑ i = 1 n P ( A i ) ，则由 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) 可知：

  P(⋃i=1n+1Ai)=P({⋃i=1nAi}⋃An+1)=P(⋃i=1nAi)+P(An+1)−P({⋃i=1nAi}⋂An+1)≤P(⋃i=1nAi)+P(An+1) P ( ⋃ i = 1 n + 1 A i ) = P ( { ⋃ i = 1 n A i } ⋃ A n + 1 ) = P ( ⋃ i = 1 n A i ) + P ( A n + 1 ) − P ( { ⋃ i = 1 n A i } ⋂ A n + 1 ) ≤ P ( ⋃ i = 1 n A i ) + P ( A n + 1 )

2. 将事件转换为独立事件（不相交事件）

假设有 A1,A2,A3 A 1 , A 2 , A 3 三个事件，则：

• 令 B1=A1,B2=A2−A1 B 1 = A 1 , B 2 = A 2 − A 1 ， B1 B 1 与 B2 B 2 不相交
• 令 B2=A2−A1 B 2 = A 2 − A 1 B3=A3−A2−A1 B 3 = A 3 − A 2 − A 1 ， B2 B 2 与 B3 B 3 不相交

令 Bi=Ai∖(⋃i−1k=1Ai) B i = A i ∖ ( ⋃ k = 1 i − 1 A i ) ，则有 B1,B2,⋯, B 1 , B 2 , ⋯ , 互不相交，且 A1∪A2∪⋯=B1∪B2∪⋯ A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ = B 1 ∪ B 2 ∪ ⋯ ，自然 Bi⊂Ai B i ⊂ A i ==> P(Bi)≤P(Ai) P ( B i ) ≤ P ( A i ) ：

P(A1∪A2∪⋯)=P(B1∪B2∪⋯)=P(B1)+P(B2)+⋯≤P(A1)+P(A2)+⋯ P ( A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ) = P ( B 1 ∪ B 2 ∪ ⋯ ) = P ( B 1 ) + P ( B 2 ) + ⋯ ≤ P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ⋯