Levenberg-Marquardt算法浅谈
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在讲Levenberg-Marquardt算法之前我想先谈下牛顿法和高斯牛顿法。
牛顿法
如果有一点数值计算知识的同学对牛顿迭代法并不陌生，先贴个经典例图来镇楼。
一般来说我们利用牛顿法来求f(x)=0的解。求解方法如下：
先对f(x)一阶泰勒展开：
f ( x + Δ ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) Δ = 0 ( 1 ) f(x+\Delta)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta=0 (1) f(x+Δ)=f(x0)+f′(x0)Δ=0 (1)
其中 Δ = x − x 0 \Delta=x-x_0 Δ=x−x0, 所以我们有
Δ = x − x 0 = − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) , 即 x = x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( 2 ) \Delta=x-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)},即x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} (2) Δ=x−x0=−f′(x0)f(x0),即x=x0−f′(x0)f(x0) (2)
由式(2)可知，当 Δ \Delta Δ 非常小时，我们可将 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0 的解析解近似于 x 0 x_0 x0。但是由上图可知 x 0 x_0 x0 是任意的初始值，所以可能会导致初始 Δ \Delta Δ 非常大，因此可采用牛顿迭代公式逐步逼近解析解：
x n = x n − 1 − f ( x n − 1 ) f ′ ( x n − 1 ) , u n t i l ∣ x n − x n − 1 ∣ < ϵ ( 3 ) x_n=x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})} ,\ until\ \ |x_n-x_{n-1}|< \epsilon (3) xn=xn−1−f′(xn−1)f(xn−1), until ∣xn−xn−1∣<ϵ (3)
接下来求解最优化问题 m i n f ( x ) ( 4 ) min f(x) (4) min f(x) (4)
牛顿法首先则是将问题转化为求 f ′ ( x ) = 0 ( 5 ) f'(x) = 0 (5) f′(x)=0 (5)这个方程的根。
一阶展开： f ′ ( x ) ≈ f ′ ( x 0 ) + ( x － x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) ( 6 ) f '(x) ≈ f '(x_0)+(x－x_0)f ''(x0) (6) f′(x)≈f′(x0)+(x－x0)f′′(x0) (6)
令 f ′ ( x 0 ) + ( x － x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) = 0 ( 7 ) f'(x_0)+(x－x_0)f ''(x_0) = 0 (7) f′(x0)+(x－x0)f′′(x0)=0 (7)
求 解 得 到 x ， 相 比 于 x 0 ， f ( x ) < f ( x 0 ) ( 8 ) 求解得到x，相比于x_0，f (x)
高斯牛顿法
在讲牛顿法的时候，我们举的例子x是一维的，若如果我们遇到多维的x该如何办呢？这时我们就可以利用雅克比，海赛矩阵之类的来表示高维求导函数了。
比如 f ( X ) = 0 , 其 中 X = [ x 0 , x 1 , . . . , x n ] ( 9 ) f(X)=0,其中X=[x_0,x_1,...,x_n] (9) f(X)=0,其中X=[x0,x1,...,xn] (9)
所以我们有雅克比矩阵(表示一阶偏导)：
J f = [ ∂ f ∂ x 0 ⋯ ∂ f ∂ x n ] ( 10 ) J_f=\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_0}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n} \end{bmatrix} (10) Jf=[∂x0∂f⋯∂xn∂f] (10)
有海赛矩阵(表示二阶偏导)：
H f = [ ∂ 2 f ∂ x 0 2 ∂ 2 f ∂ x 0 ∂ x 1 . . . ∂ 2 f ∂ x 0 ∂ x n ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 0 ∂ 2 f ∂ x 1 2 . . . ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 0 ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 1 . . . ∂ 2 f ∂ x n 2 ] ( 11 ) H_f=\begin{bmatrix}\frac{\partial^2f}{\partial x_0^2}&\frac{\partial^2f}{\partial x_0 \partial x_1}&...&\frac{\partial^2f}{\partial x_0 \partial x_n}\\ \frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_0}&\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2}&...&\frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2f}{\partial x_n \partial x_0}&\frac{\partial^2f}{\partial x_n \partial x_1}&...&\frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix} (11) Hf=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡∂x02∂2f∂x1∂x0∂2f⋮∂xn∂x0∂2f∂x0∂x1∂2f∂x12∂2f⋮∂xn∂x1∂2f......⋱...∂x0∂xn∂2f∂x1∂xn∂2f⋮∂xn2∂2f⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤ (11)
由式(3)和式(7)可知，高维牛顿法解最优化问题又可写成：
X n + 1 = X n − H f ( x n ) − 1 ∇ f ( x n ) ( 12 ) X_{n+1}=X_n-H_f(x_n)^{-1}\nabla f(x_n) (12) Xn+1=Xn−Hf(xn)−1∇f(xn) (12)
注：
- 雅可比矩阵代替了低维情况中的一阶导
- Hessian矩阵代替了二阶导
- 求逆代替了除法
例：不妨设目标函数为：
s ( x ) = ∑ i = 0 n f 2 ( x i ) ( 13 ) s(x)=\sum_{i=0}^nf^2(x_i) (13) s(x)=i=0∑nf2(xi) (13)
所以梯度向量在方向上的分量：
g j = 2 ∑ i = 0 n f i ∂ f i ∂ x j ( 14 ) g_j=2\sum_{i=0}^nf_i\frac{\partial f_i}{\partial x_j} (14) gj=2i=0∑nfi∂xj∂fi (14)
Hessian 矩阵的元素则直接在梯度向量的基础上求导：
H j k = 2 ∑ i = 0 n ( ∂ f i ∂ x j ∂ f i ∂ x k + f i ∂ 2 f i ∂ x j ∂ x k ) ( 15 ) H_{jk}=2\sum_{i=0}^n (\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\frac{\partial f_i}{\partial x_k}+ f_i\frac{\partial^2 f_i}{\partial x_j\partial x_k}) (15) Hjk=2i=0∑n(∂xj∂fi∂xk∂fi+fi∂xj∂xk∂2fi) (15)
高斯牛顿法的一个小技巧是，将二次偏导省略，于是：
H j k ≈ 2 ∑ i = 0 n J i j J i k ( 16 ) H_jk\approx2\sum_{i=0}^nJ_{ij}J_{ik} (16) Hjk≈2i=0∑nJijJik (16)
其中 J i j 表 示 雅 可 比 矩 阵 的 i 行 j 列 J_{ij} 表示雅可比矩阵的i行j列 Jij表示雅可比矩阵的i行j列。需要注意的是，式(10) 的雅可比矩阵只有一行是因为它只有一个多维函数 f ( x 0 , x 1 , . . . , x n ) f(x_0,x_1,...,x_n) f(x0,x1,...,xn)。而在式(15)中他有 n + 1 n+1 n+1 个多维函数： f 0 ( x 0 , x 1 , . . . , x n ) , f 1 ( x 0 , x 1 , . . . , x n ) , . . . , f n ( x 0 , x 1 , . . . , x n ) f_0(x_0,x_1,...,x_n),f_1(x_0,x_1,...,x_n),...,f_n(x_0,x_1,...,x_n) f0(x0,x1,...,xn),f1(x0,x1,...,xn),...,fn(x0,x1,...,xn). 所以它的雅可比矩阵为：
J f = [ ∂ f 0 ∂ x 0 ⋯ ∂ f 0 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f n ∂ x 0 ⋯ ∂ f n ∂ x n ] ( 17 ) J_f=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_0}{\partial x_0}&\cdots&\frac{\partial f_0}{\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_0}&\cdots&\frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix} (17) Jf=⎣⎢⎡∂x0∂f0⋮∂x0∂fn⋯⋱⋯∂xn∂f0⋮∂xn∂fn⎦⎥⎤ (17)
将(14)(16)改写成 矩阵相乘形式：
g = 2 J f T f ( 18 ) g=2J_f^Tf (18) g=2JfTf (18)
H ≈ 2 J f T J f ( 19 ) H\approx2J_f^TJ_f (19) H≈2JfTJf (19)
代入牛顿法高维迭代方程的基本形式，得到高斯牛顿法迭代方程：
x s + 1 = x s + Δ , 其 中 Δ = − ( J f T J f ) − 1 J f T f ( 20 ) x^{s+1}=x^s+\Delta,其中\Delta=-(J_f^TJ_f)^{-1}J_f^Tf (20) xs+1=xs+Δ,其中Δ=−(JfTJf)−1JfTf (20)
Levenberg-Marquardt算法
引用维基百科的一句话就是：
莱文贝格－马夸特方法（Levenberg–Marquardt algorithm）能提供数非线性最小化（局部最小）的数值解。此算法能借由执行时修改参数达到结合高斯-牛顿算法以及梯度下降法的优点，并对两者之不足作改善（比如高斯-牛顿算法之反矩阵不存在或是初始值离局部极小值太远）
在我看来，就是在高斯牛顿基础上修改了一点。
在高斯牛顿迭代法中，我们已经知道
Δ = − ( J f T J f ) − 1 J f T f ( 21 ) \Delta=-(J_f^TJ_f)^{-1}J_f^Tf (21) Δ=−(JfTJf)−1JfTf (21)
在莱文贝格－马夸特方法算法中则是
Δ = − ( J f T J f + λ I ) − 1 J f T f ( 22 ) \Delta=-(J_f^TJ_f+\lambda I)^{-1}J_f^Tf (22) Δ=−(JfTJf+λI)−1JfTf (22)
在我看来好像就这点区别。至少我看的[维基百科][1]是这样的。
然后Levenberg-Marquardt方法的好处就是在于可以调节:
如果下降太快，使用较小的λ，使之更接近高斯牛顿法
如果下降太慢，使用较大的λ，使之更接近梯度下降法
在此我也把算法原论文贴出来吧：[Levenberg-Marquardt算法][2]
[1]:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%8E%B1%E6%96%87%E8%B4%9D%E6%A0%BC%EF%BC%8D%E9%A9%AC%E5%A4%B8%E7%89%B9%E6%96%B9%E6%B3%95
[2]: http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3215/pdf/imm3215.pdf