noip1995石子合并-dp
题目地址：https://www.rqnoj.cn/problem/490
在一个圆形操场的四周摆放n堆石子(n≤500),现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。
编一程序，由文件读入堆数n及每堆的石子数；
⑴选择一种合并石子的方案，使得做n-1次合并，得分的总和最小；
⑵选择一种合并石子的方案，使得做n-1次合并，得分的总和最大。
输入文件：
第1行为n,代表n堆石子；
第2行为n个数，代表每堆石子的数量。
输出文件：
第1行为合并的得分总和最小值；
第2行为合并的得分总和最大值。
输入样例：
4
4 5 9 4(从最上面的一堆数起，顺时针数)
输出样例：
43(最小)
54(最大)
【分析】
第一次拿到该题时，很多选手会采用尽可能逼近目标的贪心法来逐次合并。如样例，从最上面一堆开始，沿顺时针方向排成一个环，要计算得分最小时，第一次取相邻得分最小的4,4两堆合并，得分为8分，合并后剩下3堆，每堆的分数为8,9,5；再选相邻得分最小的5,8合并，得13分，最后选9和13两堆合并，得22分，总共分数为43，与输出一样，好像这种贪心策略是对的。其实不然，这种策略存在反例。
下面我们举一个贪心算法不能正确解答的例子：
例如6堆石子，从最上面一堆顺时针数起，钟表12点位置是第一堆，6点位置为第4堆.....共六堆石子（如图2-1中的合并前）
第1堆石子数为3，第2堆石子数为4，第3堆石子数为6，第4堆石子数为5，第5堆石子数为4，第6堆石子数为2，采用贪心策略合并时，合并过程如图2-1所示。
很显然，图2-2中的合并方案比图2-1中的贪心合并方案更优。样例中造就了一种用贪心策略可以解决问题的假象，导致很多竞赛选手使用了贪心策略，从而丢失了很多分。下面来分析第二种合并方案。从后往前推，由图2-2可以看出，6堆石子合并的最小得分方案min{merge(①,②,③,④,⑤,⑥)}是由merge(①,②,③)+merge(④,⑤,⑥)得来的，上述中，merge表示合并。merge(①,②,③)时，它有两种合并方案，即先merge(①,②)两堆，再将①②合并的结果与第③堆合并，或先merge(②,③)，再将②③合并的结果与第①堆合并。两种方案的合并过程如下：
第一种合并方案：(3+4)+6合并得分为7+13=20;
第二种合并方案：3+(4+6)合并得分为10+13=23。
两种方案相比，明显第一种方案得分小。merge(④,⑤,⑥)时，同样的，也有两种方案，即先merge④,⑤两堆，再将④⑤合并的结果与第⑥堆合并，或merge⑤,⑥,再将⑤⑥合并的结果与第④堆合并。两种方案的合并过程如下：
第一种合并方案：(5+4)+2合并得分为9+11=20;
第二种合并方案：5+(4+2)合并得分为6+11=17。
这两种方案相比，明显第二种方案得分小。从图2-2中的最小合并得分结果来看，在计算6堆石子合并的最小得分min{merge(①,②,③,④,⑤,⑥)}时，它的计算过程明显是取min{merge(①,②,③)}和min{merge(④,⑤,⑥)}的。由此可以初步看出，合并石子时具备最优子结构的性质。详细看合并1到6堆时存在的过程。
合并1堆：①,②,…,⑥；
合并2堆：①②,②③,…,⑥①;
合并3堆：①②③，②③④，…，⑥①②；
合并4堆：①②③④，②③④⑤，…，⑥①②③；
合并5堆：①②③④⑤，②③④⑤⑥，…，⑥①②③④；
合并6堆：①②③④⑤⑥,②③④⑤⑥①,…,⑥①②③④⑤。
有合并过程可以看出，从第i堆开始合并j堆时，它的值可以为第i堆+min{merge(i+1,i+2,…,i+j-1)}。如从第①堆开始合并4堆时，它可以为第①堆+min{merge(②,③,④)},可以为min{merge(①,②)}+min{merge(③,④)},可以为min{merge(①,②,③)}+第④堆，共有3种来源，与区间的合并有关。以此类推，合并到6堆时，取从第i堆开始合并6堆的最小值，即得到合并的总的最小值。所以，我们可以肯定地说，此问题具备最优子结构的性质，而且无后效性。
用合并的堆数作阶段，用f[i,j]作状态，表示从第i堆数起，顺时针合并j堆的总得分最小值，它包括合并前j-1堆的最小总得分加上这次合并的得分，用sum[i,j]表示这次合并的得分。合并时的堆数可以表示为序列{第i堆,第i+1堆,…,第(i+j-2) mod n+1堆}。序列总得来的方案有很多种，我们用子序列1和子序列2表示，如子序列1为{第i堆}，则子序列2为{第i+1堆，…，第(i+j-2)mod n+1堆}。子序列1和子序列2相邻，所以，假如子序列1为k堆，则子序列2为j-k堆。由此，可以得到动规方程：
f[i,j]=min{f[i,k]+f[i+k,j-k]+sum[i,j],1≤k≤j-1}
用stone[i]表示初始时每堆的石子数，则动规的初始条件为：
f[i,1]=0
#include
using namespace std;
const int maxn=99999999;
int num[510];
int sum[510][510];//这一次合并得到的分数
int fmax[510][510];//从第i堆石子开始，合并j堆石子得到的最大值
int fmin[510][510];//从第i堆石子开始，合并j堆石子得到的最小值
int main()
{
int n,i,j;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%d",&num[i]);
sum[i][1]=num[i];
fmax[i][1]=0;
fmin[i][1]=0;
}
for(j=2;j<=n;++j)
for(i=1;i<=n;++i)
sum[i][j]=num[i]+sum[(i%n)+1][j-1];//转一圈，相当于从谁开始合并都考虑了。
for(j=2;j<=n;++j)
{
for(i=1;i<=n;++i)
{
fmax[i][j]=0;
fmin[i][j]=maxn;
for(int k=1;k<=j-1;++k)
{
int next=((i+k-1)%n)+1;
if(fmax[i][j]sum[i][j]+fmin[next][j-k]+fmin[i][k])
fmin[i][j]=sum[i][j]+fmin[next][j-k]+fmin[i][k];
}
}
}
//哪个位置当第一次合并
int min=maxn ,max=0;
for(i=1;i<=n;++i)
{
if(min>fmin[i][n])
min=fmin[i][n];
if(max