《视觉SLAM十四讲 第二版》笔记及课后习题（第四讲）

读书笔记：李群与李代数

上一讲，我们介绍了三维世界中刚体运动的描述方式，包括旋转矩阵、旋转向量、欧拉角、四元数等若干种方式。我们重点介绍了旋转的表示，但是在SLAM 中，除了表示之外，我们还要对它们进行估计和优化。因为在SLAM 中位姿是未知的，而我们需要解决什么样的相机位姿最符合当前观测数据这样的问题。一种典型的方式是把它构建成一个优化问题，求解最优的R; t，使得误差最小化。
如前所言，旋转矩阵自身是带有约束的（正交且行列式为1）。它们作为优化变量时，会引入额外的约束，使优化变得困难。通过李群——李代数间的转换关系，我们希望把位姿估计变成无约束的优化问题，简化求解方式。
(这一章是纯数学的内容)


李群（Lie Group）：

• 具有连续（光滑）性质的群。
• 既是群也是流形。
• 直观上看，一个刚体能够连续地在空间中运动，故SO(3)和SE(3)都是李群。但是，SO(3)和SE(3)只有定义良好的乘法，没有加法，所以难以进行取极限、求导等操作。

李代数：与李群对应的一种结构，位于向量空间。

• 通常记作小写的so(3)和se(3)。书中以哥特体突出显示。
• 事实上是李群单位元处的正切空间。

实践部分

useSophus：

依然是出现上一讲的错误：

error: #error This file requires compiler and library support for the ISO C++ 2011 standard. This support must be enabled with the -std=c++11 or -std=gnu++11 compiler options.
 #error This file requires compiler and library support \

在CMakeLists.txt中加入：

set(CMAKE_CXX_FLAGS "-std=c++11 -O2")

然后还得去3rdparty文件夹中安装相应的Sophus库文件，然后编译执行可得结果：

具体结果如下：

/home/wh/shenlan/slambook2/ch4/cmake-build-debug/useSophus
SO(3) from matrix:
2.22045e-16          -1           0
          1 2.22045e-16           0
          0           0           1
SO(3) from quaternion:
2.22045e-16          -1           0
          1 2.22045e-16           0
          0           0           1
they are equal
so3 =      0      0 1.5708
so3 hat=
      0 -1.5708       0
 1.5708       0      -0
     -0       0       0
so3 hat vee=      0      0 1.5708
SO3 updated = 
          0          -1           0
          1           0     -0.0001
     0.0001 2.03288e-20           1
*******************************
SE3 from R,t= 
2.22045e-16          -1           0           1
          1 2.22045e-16           0           0
          0           0           1           0
          0           0           0           1
SE3 from q,t= 
2.22045e-16          -1           0           1
          1 2.22045e-16           0           0
          0           0           1           0
          0           0           0           1
se3 =  0.785398 -0.785398         0         0         0    1.5708
se3 hat = 
        0   -1.5708         0  0.785398
   1.5708         0        -0 -0.785398
       -0         0         0         0
        0         0         0         0
se3 hat vee =  0.785398 -0.785398         0         0         0    1.5708
SE3 updated = 
2.22045e-16          -1           0      1.0001
          1 2.22045e-16           0           0
          0           0           1           0
          0           0           0           1

Process finished with exit code 0

examples：

又依然是出现上一讲的错误：

error: #error This file requires compiler and library support for the ISO C++ 2011 standard. This support must be enabled with the -std=c++11 or -std=gnu++11 compiler options.
 #error This file requires compiler and library support \

在CMakeLists.txt中加入：

set(CMAKE_CXX_FLAGS "-std=c++11 -O2")

编译后依然出现找不到文件错误：

trajectory ./example/groundtruth.txt not found.
trajectory ./example/estimated.txt not found.

依然和上一讲那样，将路径修改清楚后再编译执行后成功：

课后习题

1.验证SO(3),SE(3)和Sim(3)关于乘法成群:参考这篇博客

2.验证（R^3,R,X)构成李代数：参考这篇

3.验证so(3)和se(3)(李代数）满足李代数雅的性质，se(3)同so(3)证明相似：参考这篇

4.验证性质(4.20)和(4.21)：参考这篇

5.直观的来讲，反对称矩阵p和Rp相似，相似表示的是不同基下相同的变换，此式表达的是在以R为基的(Rp) ^变换与原变换p ^相同,公式推导在这里。参考《Lie groups ,lie algebras, projective geometry and optimization for 3d Geometry,Engineering and Computer Vision》p18：

6：第6题 有如下2.66性质，证明见《Lie Groups:An Introduction Through Linear Groups》

参考《strasdat_phd2012》Lie groups部分

7：高博课程给出了结果：

8：可参考本人之前关于CMake的博客，也可参考这篇。
find_package采用两种模式搜索库：
Module模式：搜索CMAKE_MODULE_PATH指定路径下的FindXXX.cmake文件，执行该文件从而找到XXX库。其中，具体查找库并给XXX_INCLUDE_DIRS和XXX_LIBRARIES两个变量赋值的操作由FindXXX.cmake模块完成。
Config模式：搜索XXX_DIR指定路径下的XXXConfig.cmake文件，执行该文件从而找到XXX库。其中具体查找库并给XXX_INCLUDE_DIRS和XXX_LIBRARIES两个变量赋值的操作由XXXConfig.cmake模块完成
可选参数例如版本控制：find_package(OpenCV 3)。
先决条件是首先需要安装库：如apt-get install或者sudo make install。