快速回忆微分方程

回忆

微分方程： 含有自变量、未知函数及未知函数的某些导数的方程式称为微分方程。

当未知函数是一元函数时就称为常微分方程。未知函数是二元，或多元以上函数时就称是偏微分方程。

理解线性与非线性：

线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

关于解方程

首先，应掌握方程类型的判别，因为不同类型的方程有不同的解法，同一方程，可能属于多种不同的类型，则应选择较易求解的方法。

对于一阶方程，通常可按可分离变量的方程，齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程的顺序进行，特别是一阶线性方程和伯努利防火才能还应注意到有时可以以x为因变量,y为自变量得到。

对于与高阶方程，一般可按线性方程、欧拉方程、高阶可降阶的方程进行。

1. 可分离变量的方程：

微分方程中既有变量X,Y的函数，又有他们的微分dx,dy，能把变量x以及他的一元函数和他的微分dx放到方程的一端，将能把变 量y以及他的一元函数和他的微分dy放到方程的一端，这样的微分方程就叫可分离变量方程。两端分别积分得到微分方程的解的解法就叫分离变量法。

2. 齐次方程：
   设微分方程$$y^{{}^{\prime }}=f(x,y)$$
   右端的函数$f(x,y)$可改写成 $\frac{y}{x}$ 的函数 $h(\frac{y}{x})$ ，则称方程为齐次方程。

例：
如下微分方程：

可分别改写成：

所以它们是齐次方程！

微分方程的解

带入微分方程使之成为恒等式的函数。

通常还要求解具有和阶数一样的连续导数，如二阶方程的解应具有连续的二阶导数.

参考

1. 第七章第一讲微分方程及五大类型
   https://baijiahao.baidu.com/s?id=1610034162831361488&wfr=spider&for=pc
2. 我们一起学习什么是“齐次微分方程”
   https://baijiahao.baidu.com/s?id=1637405405123512003&wfr=spider&for=pc