无向联通图的二分染色与存在奇环的性质分析

题引

---

题解及思路

题中给出了无向图的两种存在形状 二分染色 和 存在奇环

首先我们需要证明的是两者是互斥的。

二分图定义 ：是这样一个图，其顶点可分为两集合X和Y，所有的边关联的两顶点中，恰一个属于Ｘ，另一个属于Ｙ。同一集合的结点不相邻。

证明：假设二分图中的环是奇数环。

设一个环，x1，x2，x3，，，，x(2*k-1)，k>=1且为整数。相邻两点有边连接，x1与x(2*k-1)相连。

由二分图定义可知：x1与x2分别在X集合和Y集合，由于x2与x3的关系可知x3在X集合，则x4在Y集合，以此类推，可得奇数点在X集合，偶数点在Y集合，那么点x(2*k-1)则在X集合中，即与x1同为一个集合，但有之间假设的x1与x(2*k-1)有连边，那么此时就与二分图定义不符，这二分图中的环不可能是奇数环。

 

综上 ：二分图性质   一个图如果是二分图，那么这个图不存在奇环,反之也成立。(二分图中可以存在偶环)

---

了解了以上的定理对于本题就是很简单的了。

只需要DFS对无向图进行二分染色，如果不满足二分图，即我们找到了顶点v和u染色错误。vu顶点构成的这条路径一定是一个奇环。根据dfs的顺序回溯即可还原这条路径。

---

代码

#include
using namespace std;
const int maxn = 3e5+10;
vector ways[maxn];
int col[maxn],path[maxn],n,m,root;
vector ans;
bool flag;
inline void init() {
    memset(col,-1,sizeof(col));
    memset(path,-1,sizeof(path));
    ans.clear();
    flag = true;
    for(int i=0;i