现代数字信号处理第五章——维纳滤波在信号处理中的应用

主要内容

• 线性滤波器及其与AR模型的互逆关系
• 前后向线性预测；格型滤波器；Burg算法
• 信道均衡

一、线性预测

\quad 如下图所示包含M个抽头的滤波器，用$u(n-1),u(n-2),\cdots ,u(n-M)$来预测$u(n)$，称为M阶线性预测$LP(M)$。

• 输入向量：$u(n)=[u(n-1),u(n-2),\cdots ,u(n-M){]}^T$
• 权向量：$w=[w_0,\cdots ,w_{M-1}{]}^T$
• 自相关矩阵：$R=E\{u(n)u^H(n)\}$
• 互相关预测：$p=E\{u(n)d^{\ast }(n)\}=[r(-1),r(-2),\cdots ,r(-M){]}^T$
• M阶线性预测满足维纳-霍夫方程：$R{w}_0=p$
• 满足维纳-霍夫方程的线性预测称为最佳线性预测，简称线性预测
• $J_{min}={\sigma }_d^2-p^H{w}_0=r(0)-w_{0}r(1)-w_{1}r(1)-\cdots -w_{M-1}r(M)$

线性预测器与AR模型的关系

$$\begin{gathered} H_{AR}(z)=\frac{1}{1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+\cdots +a_M{z}^{-M}} \\ {H}_{LP}(z)=1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+\cdots +a_M{z}^{-M} \\ {H}_{AR}(z)H_{LP}(z)=1 \end{gathered}$$
\quad M阶LP与M阶AR互为逆袭统

二、前后向线性预测；格型滤波器；Burg算法

前向线性预测器FBLP结构图：

1、前向线性预测FLP

• 用$u(n-1),u(n-2),\cdots ,u(n-M)$来预测$u(n)$
• FLP的维纳霍夫方程：$R{w}_{fo}=p,w_{fo}$是FLP最优权向量
  

2、后向线性预测BLP

• 用$u(n-M+1),u(n-M+2),\cdots ,u(n)$来预测$u(n-M)$
• FLP的维纳霍夫方程：$R_b{w}_{bo}=p_b,w_{bo}$是BLP最优权向量
  
• $R_b=R^{\ast },p_b=p^{\ast },w_{fo}=w_{bo}^{\ast }$，可见在最小均方误差下，FLP和BLP估计权向量时效果相同
• ${\hat{w}}_o=\frac{1}{2}({\hat{w}}_{fo}+{\hat{w}}_{bo})$，统计意义下，估计${\hat{w}}_o$比单独进行前向或者后向预测具有更小的估计误差

3、FBLP格型滤波器

\quad 将随机过程$u(n)$输入到格型滤波器，则可分别得到不同阶数的FBLP的最小前向预测误差$e_m^f(n)$和最小后向预测误差$e_b^f(n)$，满足下式的递推关系：

4、Burg算法

\quad 利用Burg算法可以根据N个观测样本数据估计各阶FBLP的反射系数$k_m$
\quad Burg算法可以估计AR(M)模型的参数，进而得到AR(M)功率谱密度的估计。

三、信道均衡

\quad 在数字通信系统中，接受信号通常会受到加性噪声；码间干扰、衰落等因素影响，要获得发射符号的可靠估计，通常需要在接收机中对接收信号进行均衡。

1、离散时间通信信道模型

$$\begin{gathered} s(t)=\sum _{l=-\infty }^{\infty }s(l)g(t-lT) \\ u(t)=s(t)\ast c(t)+v(t)=\sum _{l=-\infty }^{\infty }s(l)h(t-lT)+v(t) \\ 其中h(t)=g(t)\ast c(t),对其采样，最终输入输出关系为 \\ u(n)=\sum _{l=0}^L{h}_{l}s(n-l)+v(n) \end{gathered}$$
\quad 对上式展开，可得到$u(n)=h_{0}s(n)+{\sum }_{l=1}^L{h}_{l}s(n-l)+v(n)$，式子第一项表示第n个采样时刻携带信息的符号，第二项表示引入码间干扰，等价模型如下图：

2、迫零滤波器

a.理想的逆滤波器

\quad 要消除码间干扰，则级联的单位冲激响应$f(n)$应满足$$\begin{gathered} f(n)=w(n)\ast h(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{w}_k^{\ast }{h}_{n-k}=\delta (n) \\ F(z)=W(z)H(z)=1 \\ 均衡器W(z)=\frac{1}{H(z)} \end{gathered}$$
因此，要完全消除码间干扰，均衡器$W(z)$应该是$H(z)$的理想逆滤波器 。称满足该条件的均衡器是迫零滤波器。

b.FIR迫零均衡器

\quad $\hat{w}是FIR滤波器的权向量\hat{w}=[{\hat{w}}_{-M},{\hat{w}}_{-M+1},\cdots ,{\hat{w}}_M]$，经过推导，可以得到，迫零滤波器要求权向量$\hat{w}$满足$$\begin{gathered} f_d=C{\hat{w}}^{\ast } \\ {f}_d=[0,\cdots ,0,1,0,\cdots ,0{]}^T只有第M+1项不为0 \\ C是信道冲激响应矩阵 \end{gathered}$$
\quad 若预先得到矩阵C，则由上式可以解出均衡滤波器权向量$\hat{w}$。

3、基于于MMSE准则的FIR均衡滤波器

\quad 均衡器输入向量$u(n)=Hs(n)+v(n)$，其中$H$是信道矩阵

• 利用最小均方误差准则，MMSE均衡器是维纳-霍夫方差的解：${\hat{w}}_o=R^{-1}p$
• $R=E\{u(n)u^H(n)\}=E\{(Hs(n)+v(n))(Hs(n)+v(n){)}^H\}=HE\{s(n)s^H(n)\}{H}^H+E\{v(n)v^H(n)\}={\sigma }_s^{2}H{H}^H+{\sigma }_v^{2}I$
• $p=E\{u(n)s^{\ast }(n)\}={\sigma }_s^2[H{]}_{M+1}={\sigma }_s^2[h_M,h_{M+1},\cdots ,h_0,0{]}^T$
• 计算出${\hat{w}}_o$后，得到最小均方误差为$J_{min}={\sigma }_s^2-{\hat{w}}_o^{H}p$
• 可以看出，如果已知信道系数$\{h_l{\}}_{l=0}^L$，则可直接计算出均衡滤波器的权向量