采用匈牙利算法求解分配问题

什么是分配问题？

  分配问题也称指派问题，是一种特殊的整数规划问题，分配问题的要求一般是这样的：n个人分配n项任务，一个人只能分配一项任务，一项任务只能分配给一个人，将一项任务分配给一个人是需要支付报酬，如何分配任务，保证支付的报酬总数最小。
  简单的说：就是n*n矩阵中，选取n个元素，每行每列各有一个元素，使得和最小。

匈牙利算法

  解决分配问题的算法有多种，但是最常用的是匈牙利算法。

什么是匈牙利算法？
1）理论基础：
  若从指派问题的系数矩阵的某行（列）各元素中分别减去或者加上常数k，其最优任务分配问题不变。
2）匈牙利算法的流程图

3）.计算步骤
  下面用一个简单的例子来说明
例如：有A、B、C、D四项任务，需要分配给甲乙丙丁四个人来完成。他们完成任务所需要支付的酬劳如下表所示，问，如何分配任务，可使总费用最少？

得到的支付矩阵是：

Step 1: 行归约

找出每行的最小元素，分别从每行中减去这个最小元素；
矩阵变换如下：

Step 2 : 列归约

找出每列的最小元素，分别从每列中减去这个最小元素

经过以上两步变换，矩阵的每行每列都至少有了一个零元素。接下来就进行第三步，试着指派任务。

Step 3 : 指派任务

① 确定独立零元素。
i 从第一行(列)开始，若该行（列）中只有一个零元素，对该零元素标1，表示这个任务就指派给某人做。
每标一个1，同时将该零元素同列的其他零元素标为2，表示此任务已不能由其他人来做。（此处标1、2的操作与课本画圈、划去操作同理）

如此反复进行，直到系数矩阵中所有的零元素都已经被标为1或者2为止。
  我们得到的矩阵如下：

② 指派
我们观察到，系数矩阵中标记为1的零元素正好等于4，这表示已经确定了最优的指派方案。

此时，只需将0（1）所在位置记为1，其余位置记为0，则获得了该问题的最优解。

最优解为：

即：A任务交给丙负责，B任务交给丁负责，C任务交给甲负责，D任务交给乙负责。

此时总报酬为：1+5+2+3 = 11；

异常情况

  上例仅为一种理想情况正常情况下，我们在对支付矩阵进行变换时会出现两种情况：
    ① 出现零元素的闭合回路
    ②标记成1的元素个数小于n
这两种情况导致支付矩阵中独立零元素出现不足。下面我们针对这两种情况举例说明：

i.出现零元素的闭合回路（有多于两行或两列存在两个以上的零元素。）

  对于矩阵：

我们所有变化后，得到矩阵：

图的第一行的一二列零元素和第四行的一二列零元素构成回路

这里我们的处理方法是：
先对cost方阵做一个备份（因为会出现多解），然后我们可以顺着回路的走向，对间隔的零元素标记成1，然后对标记成1的零元素所有的行列划一条直线，把这两条直线的其他零元素标记成2,得到一种结果后，再求出多解。

这里我们采用间隔标记法，得到矩阵：

最优解为：

最小酬劳为：1+2+2+2=7

ii. 矩阵中所有标记成1的零元素小于n

例如矩阵：

经过所有变换后得到矩阵：

被标为1的0总共有3个，小于4。
因此，我们需要对其进行【画盖0线】的操作。（即画出可以覆盖最多0元素的直线）

（1）画盖0线：利用最少的水平线和垂直线覆盖所有的零。
具体操作如下：
① 对没有标记为1的零元素所在的行打√；
②在已打“√”的行中，对标记为2的零元素所在列打√
③ 在已打“√”的列中，对标记为1的零元素所在行打“√”
④重复②和③，直到再不能找到可以打√的行或列为止。
⑤对没有打“√”的行画一横线，对打“√”的列画一垂线，这样就得到了覆盖所有零元素的最少直线数目的直线集合。

对矩阵进行操作：
① 打勾

② 划线

（2）继续变换系数矩阵
①在未被覆盖的元素中找出一个最小元素。
②对未被覆盖的元素所在行中各元素都减去这一最小元素。这时已被覆盖的元素中会出现负元素。
③对负元素所在的列中各元素加上这一最小元素。

对上述矩阵：20为未被覆盖元素中最小的元素。变换矩阵，并寻找得：

Step4

我们发现，在经过一次变换后，独立零元素的个数仍然少于4.此时返回第三步，反复进行，直到矩阵中每一行都有一个被标记为1的元素为止。

例如在上述矩阵中：

矩阵中独立零元素仍然小于n。对矩阵执行打勾、划线等操作，得出未被覆盖区最小元素为5，进行系数变换之后得到矩阵：

我们发现得到的矩阵每行列有多个零元素（零元素的闭合回路），再运用上述方法可以得到矩阵：

最优解为：

最小酬劳为：15+65+25+50=155

以上，我们的指派问题和匈牙利算法原理就