采用匈牙利算法求解分配问题

采用匈牙利算法求解分配问题

  • 什么是分配问题?
  • 匈牙利算法
  • 异常情况
    • i.出现零元素的闭合回路(有多于两行或两列存在两个以上的零元素。)
    • ii. 矩阵中所有标记成1的零元素小于n

什么是分配问题?

  分配问题也称指派问题,是一种特殊的整数规划问题,分配问题的要求一般是这样的:n个人分配n项任务,一个人只能分配一项任务,一项任务只能分配给一个人,将一项任务分配给一个人是需要支付报酬,如何分配任务,保证支付的报酬总数最小。
  简单的说:就是n*n矩阵中,选取n个元素,每行每列各有一个元素,使得和最小。

匈牙利算法

  解决分配问题的算法有多种,但是最常用的是匈牙利算法。

什么是匈牙利算法?
1)理论基础:
  若从指派问题的系数矩阵的某行(列)各元素中分别减去或者加上常数k,其最优任务分配问题不变。
2)匈牙利算法的流程图
采用匈牙利算法求解分配问题_第1张图片
3).计算步骤
  下面用一个简单的例子来说明
例如:有A、B、C、D四项任务,需要分配给甲乙丙丁四个人来完成。他们完成任务所需要支付的酬劳如下表所示,问,如何分配任务,可使总费用最少?
采用匈牙利算法求解分配问题_第2张图片
得到的支付矩阵是:
采用匈牙利算法求解分配问题_第3张图片
Step 1: 行归约

找出每行的最小元素,分别从每行中减去这个最小元素;
矩阵变换如下:
在这里插入图片描述
Step 2 : 列归约

找出每列的最小元素,分别从每列中减去这个最小元素
采用匈牙利算法求解分配问题_第4张图片
经过以上两步变换,矩阵的每行每列都至少有了一个零元素。接下来就进行第三步,试着指派任务。

Step 3 : 指派任务

① 确定独立零元素。
i 从第一行(列)开始,若该行(列)中只有一个零元素,对该零元素标1,表示这个任务就指派给某人做。
每标一个1,同时将该零元素同列的其他零元素标为2,表示此任务已不能由其他人来做。(此处标1、2的操作与课本画圈、划去操作同理)

如此反复进行,直到系数矩阵中所有的零元素都已经被标为1或者2为止。
  我们得到的矩阵如下:
在这里插入图片描述

② 指派
我们观察到,系数矩阵中标记为1的零元素正好等于4,这表示已经确定了最优的指派方案。

此时,只需将0(1)所在位置记为1,其余位置记为0,则获得了该问题的最优解。

最优解为:
采用匈牙利算法求解分配问题_第5张图片
即:A任务交给丙负责,B任务交给丁负责,C任务交给甲负责,D任务交给乙负责。

此时总报酬为:1+5+2+3 = 11;

异常情况

  上例仅为一种理想情况正常情况下,我们在对支付矩阵进行变换时会出现两种情况:
    ① 出现零元素的闭合回路
    ②标记成1的元素个数小于n
这两种情况导致支付矩阵中独立零元素出现不足。下面我们针对这两种情况举例说明:

i.出现零元素的闭合回路(有多于两行或两列存在两个以上的零元素。)

  对于矩阵:
采用匈牙利算法求解分配问题_第6张图片
我们所有变化后,得到矩阵:
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图的第一行的一二列零元素和第四行的一二列零元素构成回路

这里我们的处理方法是:
先对cost方阵做一个备份(因为会出现多解),然后我们可以顺着回路的走向,对间隔的零元素标记成1,然后对标记成1的零元素所有的行列划一条直线,把这两条直线的其他零元素标记成2,得到一种结果后,再求出多解。

这里我们采用间隔标记法,得到矩阵:
采用匈牙利算法求解分配问题_第8张图片
最优解为:
采用匈牙利算法求解分配问题_第9张图片
最小酬劳为:1+2+2+2=7

ii. 矩阵中所有标记成1的零元素小于n

例如矩阵:
采用匈牙利算法求解分配问题_第10张图片
经过所有变换后得到矩阵:
采用匈牙利算法求解分配问题_第11张图片
被标为1的0总共有3个,小于4。
因此,我们需要对其进行【画盖0线】的操作。(即画出可以覆盖最多0元素的直线)

(1)画盖0线:利用最少的水平线和垂直线覆盖所有的零。
具体操作如下:
① 对没有标记为1的零元素所在的行打√;
②在已打“√”的行中,对标记为2的零元素所在列打√
③ 在已打“√”的列中,对标记为1的零元素所在行打“√”
④重复②和③,直到再不能找到可以打√的行或列为止。
⑤对没有打“√”的行画一横线,对打“√”的列画一垂线,这样就得到了覆盖所有零元素的最少直线数目的直线集合。

对矩阵进行操作:
① 打勾
采用匈牙利算法求解分配问题_第12张图片
② 划线
采用匈牙利算法求解分配问题_第13张图片

(2)继续变换系数矩阵
①在未被覆盖的元素中找出一个最小元素。
②对未被覆盖的元素所在行中各元素都减去这一最小元素。这时已被覆盖的元素中会出现负元素。
③对负元素所在的列中各元素加上这一最小元素。

对上述矩阵:20为未被覆盖元素中最小的元素。变换矩阵,并寻找得:

采用匈牙利算法求解分配问题_第14张图片
Step4

我们发现,在经过一次变换后,独立零元素的个数仍然少于4.此时返回第三步,反复进行,直到矩阵中每一行都有一个被标记为1的元素为止。

例如在上述矩阵中:

矩阵中独立零元素仍然小于n。对矩阵执行打勾、划线等操作,得出未被覆盖区最小元素为5,进行系数变换之后得到矩阵:
采用匈牙利算法求解分配问题_第15张图片
我们发现得到的矩阵每行列有多个零元素(零元素的闭合回路),再运用上述方法可以得到矩阵:
采用匈牙利算法求解分配问题_第16张图片
最优解为:
采用匈牙利算法求解分配问题_第17张图片
最小酬劳为:15+65+25+50=155

以上,我们的指派问题和匈牙利算法原理就

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