COMSOL 偏微分方程接口

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COMSOL Multiphysics是一款强大的多物理场仿真软件。除了内置的众多典型物理场外，其还允许用户基于方程进行建模，例如使用 PDEs (Partial Differential Equations) 、ODEs (Ordinary Differential Equations) 以及 DAEs (Differential Algebraic Equations) 建模。这里主要介绍COMSOL偏微分方程接口。

接口简介

COMSOL的偏微分方程接口下常用的有两种方程形式：

1. 系数型偏微分方程
2. 一般形式偏微分方程

系数型偏微分方程

COMSOL提供的模板
$$\underset{\text{质量}}{e_a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}}+\underset{\text{阻尼}}{d_a\frac{\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \stackrel{\text{守恒通量}}{(-\underset{\text{扩散}}{c\nabla u}-\underset{\text{对流}}{\alpha u}+\underset{\text{源}}{\gamma })}+\underset{\text{对流}}{\beta \cdot \nabla u}+\underset{\text{吸收}}{au}=\underset{\text{源}}{f}$$
式中，$u$ 为所研究的场变量，红色变量是由用户确定的数值或表达式。

一般形式偏微分方程

COMSOL提供的模板
$$e_a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+d_a\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla \cdot \Gamma =f$$
同样地，$u$ 为场变量，红色变量由用户确定。需要注意，变量 $\Gamma$ 可以为包含场变量以及其偏导数的复杂表达式。

算例测试

采用《相场损伤模型》中的物理模型，即
$$\{\begin{array}{ll}d-l^2\Delta d=0& \mathrm{i}\mathrm{n}V\\ \nabla d\cdot \mathbf{n}=0& \mathrm{o}\mathrm{n}\partial V\\ d(\mathbf{x})=1& \mathrm{o}\mathrm{n}\Gamma \end{array}$$
对于特征长度参数 $l=0.25$ 、边长为 2 的正方形（二维）求解域进行计算。

采用系数型方程

令扩散系数 $c=l^2$ 、吸收系数 $a=1$ 、其余待定变量均设为零。裂纹几何特征与《相场损伤模型》中保持一致。

计算结果如下

采用一般形式方程

令守恒通量 $\Gamma =[\partial d/\partial x,\partial d/\partial y]$ 、源项 $f=d/l^2$ 、其余待定变量均设为零。裂纹几何特征采用箕舌线的形式，在本文中其具体方程为
$$\{\begin{array}{l}x=\tan \theta \\ y={\cos }^2\theta -0.7\end{array}$$
式中，$\theta \in [-\pi /4,\pi /4]$ 。

计算结果如下

注意事项

1. 对裂纹处网格进行手动划分时，可设置全局变量来控制裂纹边上的最大单元大小，并将最大单元增长率设为较小值，由此获得较高的网格质量

   本文设裂纹边的最大单元大小 $l_e=0.07$ 、最大单元增长率为1.1，除裂纹边外区域的最大单元大小为 $3l_e$

2. 在COMSOL中零通量选项对应Neumann边界条件，Dirichlet边界条件需手动添加

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