【白话算法】如何根据动态规划数组求得最佳策略

我们知道，我们可以使用二维数组求得一个DP问题的最佳值，但是并没有求得其最佳方案。

以背包问题为例，如何根据已经求得的二维数组 dp[N+1][W+1] ，求得最佳选择方案呢？

只需要看DP代码，如下：

int dpf[N+1][W+1]; //数组从0开始
int dp_solve()
{
	for(int i=0; i

我们可以看到dpf[i+1][j] 进和  dpf[i][j],dpf[i][j-w[i]]+v[i] 两个状态相关。

【规则1】找出添加新步骤的关键条件。

而且，如果和dpf[i][j]相关，那么 最优价值不会变化，所以不会添加新步骤，所以我们只需要考虑  dpf[i][j] ==dpf[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1] 的情况。(dpf  从N开始，而w，v数组从 N-1开始往前)

【小结】以上主要找出 使得最优价值发生改变的“那个步骤”，因为只有变化了，说明这个步骤才可能是最优策略里的一步。

【规则2】DP是正向进行的，求最优方案就该从逆向考虑。

写出基本循环：

for( int i=N;i>0;i++)
    for( int j=W;j>0;j++)
	

首先dpf[N][W] 必然是最优值。

【规则3】使用一个临时变量记录当前最佳值。

这里初始化为 int  bestV= dpf[N][W] ;

我们遍历时，如果发现 当前 dpf[i][j] 不等于 当前最佳值时，不用考虑，肯定不是我们需要的策略里的一步。

所以我们每次循环只需要考虑 dpf[i][j] == bestV 的情况。 

【小结】以上思想为，当前最佳值是多少，我们就找从这个最佳值出发向前找策略，就比如背包中，如果当前最佳值是 7，那么当前状态下 如果遇到 最佳值是6的dpf[q][p]可以直接忽略。

所以下面我们可以写出，寻找到 “最优策略里某个步骤” 的代码：

int bestV=dpf[N][W];
for( int i=N;i>0;i++)
    for( int j=W;j>0;j++)
        if ( dpf[i][j] == dpf[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]  && bestV==dpf[i][j])  // 这里不建议写成 bestV == dpf[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1],因为跳转
		{
		    // 这里对该步骤进行存储，便于显示
		}

找到了当前最优步骤后，我们需要更新一些变量。

【规则4】更新当前最佳值，记录步骤等。

我们要把bestV  修改为：去掉当前步骤后的前面所有步骤组成的方案能获得的价值。

这里是  bestV =  dpf[i-1][j-w[i-1]] ；

然后我们就可以写出所有代码了，如下：

当然，针对0-1背包问题，我们可以优化这个寻找策略的方法：

比如更新最佳值时，我们也可以更新 j在每一轮i开始时的初始值，原因自己想象 【提示，DP的无后效性】

还有，对于一行元素来说，如果这行对应的步骤已经被找到，那么这行其他列就不要再考虑了，直接 break即可。 

int bestV=dpf[N][W];
string a = "";
for( int i=N;i>0;i++)
    for( int j=W;j>0;j++)
        if ( dpf[i][j] == dpf[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]  && bestV==dpf[i][j])
		{
		     a = a + char(i+48); 
			 bestV = dpf[i-1][j-w[i-1]];
		}
//示例输出：   1345 代表 物品 1 3 4 5被选中。