[算法入门]分块入门之求最大值

分块入门之求最大值

分块，优美的暴力

Description

Input

第一行给出一个数字N，接下来N+1行，每行给出一个数字Ai，（1<=i<=N<=1E5)
接来给出一个数字Q(Q<=7000),代表有Q个询问
每组询问格式为a,b即询问从输入的第a个数到第b个数，其中的最大值是多少

Output

如题所述

Sample Input

10
0
1
2
3
2
3
4
3
2
1
0
5
0 10
2 4
3 7
7 9
8 8

Sample Output

4
3
4
3
2

---

第一眼看很容易想到用暴力循环枚举区间的最值，但当n极大时，暴力直接原地爆炸。而分块就可以用空间换时间达到时空平衡。

可以把这想象成一个班级，一天老师问从编号i~j的同学中最高的是哪个，老师可以挨着一个个问做比较，但当班级里的人数很大的时候，老师肯定会累死。而分块就相当于班级里的小组，对于不是处于完整的小组，老师挨个问就可以；对于完整的小组，老师就只想要问小组长——分块维护的状态，就可以快速得到答案。

分块的一些基础

• 块数：一般取q=sqrt(n)，表示一个块（小组）有多少个元素（成员）。
• 整块：完整的块（小组），如一个块有10个元素，那么这10个你都能进查询行操作。
• 残块：不完整的块，一个块本来有10个元素，而你能进行查询操作的只有<10个
  有了块的基本概念后，还需要了解块的id与元素id直接的转换方法
  对于a[i]，它所对应的块的下标就是（i-1）/sqrt（n）+1，可以用一个数组to[i]=(i-1)/q+1来存下，表示a[i]对应的块的编号就是to[i]
  对于第i个块，它所对应的最左下标就是(i-1)*q+1,所对应的最右下标为min(n,tu[l]*q)，注意，因为最右边的块是有可能为残块，如果直接访问最右边会出界，所以要跟n求min。
• 上面的公式可以自己堆一遍并拿几个数测试下加强记忆

能进行这些操作后，就可以着手解决这道题了。

输入和预处理

cin>>n>>m;//n,元素个数，m，访问个数
n++;//题目数据下标是从0开始，一般从1开始好操作
q=sqrt(n);
for(int i=1;i<=n;i++){
	cin>>a[i];
	to[i]=(i-1)/q+1;//预处理第i个元素对应的块的下标
	//c[i]表示第i个块最大的值（状态）
	c[tu[i]]=max(a[i],c[tu[i]]);//提前预处理出第i个块的最大值
}

输入查询操作

for(int i=1;i<=m;i++){
	int l,r;
	scanf("%d %d",&l,&r);
	l++;//题目数据下标是从0开始，但代码处理时是从1开始
	r++;
	find(l,r);
}

对于查询区间[x,y]中最值可以直接查询区间里块的最值再做比较，但x和y不一定能刚好圈住完整的块，在左和有有可能出现残块，残块就只能暴力循环比较。
所以将分成3个循环来求

先求最左边的残块

int ans=-1//存储答案
for(int i=l;i<=min(r,tu[l]*q);i++){//从l到l所在块的最右端
	ans=max(ans,a[i]);
}

再求中间的完整块

for(int i=to[l]+1;i<=to[r]-1;i++){//l所在块已经求过，所以要加+1
	ans=max(ans,c[i]);//c[i]是输入时直接预处理好了的第i个块最内最大的值
}

求右边的残块
注意：因为r和l有可能在同一个块里面，如果不加些判断会重复计算

if(to[r]!=to[l]){
	for(int i=(to[r]-1)*q+1;i<=r;i++){
		ans=max(ans,a[i]);
	}		
}

最后奉上代码

#include
using namespace std;
inline int read(){
	int x=1,w=0;char ch=0;
	while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-',ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return w?-x:x;
}
inline void write(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x-=x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	return ;
}
int n,m,a[100005],c[1005],q,tu[100005];
void chunk(int l,int r){
	int ans=0;
	for(int i=l;i<=min(r,tu[l]*q);i++){
		ans=max(ans,a[i]);
	}
	for(int i=tu[l]+1;i<=tu[r]-1;i++){
		ans=max(ans,c[i]);
	}
	if(tu[r]!=tu[l]){
		for(int i=(tu[r]-1)*q+1;i<=r;i++){
			ans=max(ans,a[i]);
		}		
	}

	printf("%d\n",ans);
	return ;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	n++;
	q=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		tu[i]=(i-1)/q+1;
		c[tu[i]]=max(c[tu[i]],a[i]);
	}
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y;
		scanf("%d %d",&x,&y);
		x++;
		y++;
		chunk(x,y);
	}
	return 0;
}