抽象代数学习笔记（6）群与子群

前面的几篇文章介绍了抽象代数的基础，现在可以接触一种基本的代数结构—群。之前说过，代数结构就是在一个集合上定义一个运算。群也是如此，只是，群需要满足一些要求。

一个集合 G 以及定义在这个集合上的运算*满足下列条件：
* 运算*满足结合律；
* 运算*有一个单位元 e ；
* 集合 G 中的每一个元素在运算* 有逆元，即 G 中任意元素 g ,有 g−1 使得
g∗g−1=g−1∗g=e

这样，元素G和定义在G上的运算* 构成了一个群，记作 (G,∗) ，有时简称 G 是一个群。

我们接触到的群的例子其实有很多，例如整数在代数加法下构成群，实数在代数乘法上构成群，等等。
群有一些性质，需要注意：
* 群中的单位元是唯一的
* 群上的运算满足左右消去律
* 群上的运算不需要满足交换律，若满足交换律，则这个群是一个交换群。为纪念天才数学家阿贝尔对群论做出的杰出贡献，常称交换群为阿贝尔群。

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研究代数系统经常要研究它的子代数系统，群也是这样，这就有了子群的概念。

(G,∗) 是个群，如果 G 的子集 H 对于*也构成群,那么称 (H,∗) 是 (G,∗) 的子群。或者，简单地说， H 是 G 的子群。

前面说到整数在代数加法下构成群，而偶数在代数加法下也构成群，那么，偶数加法群是整数加法群的一个子群。
子群也有一些性质，下面列一下：
* 子群的单位元等于群的单位元
* G 是一个群， G 的任意一个子群族的交集仍然是 G 的子群
* H,K 是 G 的子群，如果 H,K 的并集也是 G 的子群，那么 H⊆K 或者 K⊆H 。

这些性质的证明很简单，有兴趣的可以试一下。

这里提一个比较重要的概念，生成子群：

设 G 是个群， S 为其一非空子集合, J 为 G 的所有包含 S 的子群的族，则称子群

⋂H∈JH

为 S 在 G 中的生成子群。记作< S >

之所以说生成子群重要，主要是因为生成子群的诸多应用，先记住上述概念，以后会在其他的例子中引用。

我在介绍关系的文章中说到过商代数系统，群作为一个代数系统自然是有商代数系统的—商群。但是现在讲商群的概念为时过早，要说明一下，商群是一个很难理解的概念，需要了解更多群的实例，才能对商群有个清晰的认识，因此，商群会在以后的文章中具体论述。