循环群的子群、群阶因子、元素阶

前言：仅个人小记。

讨论内容

1. 子群的阶必然为群阶的因子，这一点由群论中的拉格朗日定理已经知道，不必再详细讨论。
2. 循环群 G 的群阶 n 的因子 d 必然相应一个子群，该子群的阶就等于 d，即群论中拉格朗日定理的逆在循环群中成立。
3. 循环群 G 中， 阶为 d 的元素必然共有 $\phi (d)$ 个，d 是群阶 n 的因子。
4. 循环群 G 中，根据阶不同，对所有元素进行划分，引出定理 $$n=\sum _{d|n}\phi (d)$$

前要知识和规定

1. 循环群为 G，G 的阶为 n，G 的生成元为 g。
2. $ord(x^a)=\frac{ord(x)}{(ord(x),a)}$,证明参看 https://blog.csdn.net/qq_25847123/article/details/101050414

开始讨论

1. 因为 G 是循环群，所以 G 中的每一个元素必然可以表示为生成元 g 的幂。正因如此，对于 $\forall d|n，有g^{\frac{n}{d}}\in G$，进而根据前要知识2知道，$$o(g^{\frac{n}{d}})=\frac{o(g)}{(o(g),\frac{n}{d})}=\frac{n}{(n,\frac{n}{d})}=\frac{n}{\frac{n}{d}}=d$$故而很容易找到了一个阶为因子 d 的元素，进而显然对于因子 d 有相应的子群 $<g^{\frac{n}{d}}>$，进而循环群 G 的群阶 n 的因子 d 必然相应一个子群，该子群的阶就等于 d，即群论中拉格朗日定理的逆在循环群中成立。即，必然元素的阶就等于 n 的因子 d。

2. 循环群 G 中， 阶为 d 的元素必然共有 $\phi (d)$ 个，d 是群阶 n 的因子。
   这个问题就等价于讨论：$$o(g^k)=d,1\le k\le n$$问， k 的取值有多少个？
   根据前要知识2，$$o(g^k)=\frac{o(g)}{(o(g),k)}=\frac{n}{(n,k)}=d$$进而更变为
   $$(n,k)=\frac{n}{d}，1\le k\le n$$满足上式的 k 有多少个？
   k 能满足
   $$(n,k)=\frac{n}{d}，1\le k\le n$$则必然 $\frac{n}{d}|k$ ，进而上式等价于满足
   $$(\frac{n}{\frac{n}{d},},\frac{k}{\frac{n}{d}})=1，1\le k\le n$$记，$t=\frac{k}{\frac{n}{d}}$， t 为整数，则
   $$(d,t)=1$$显然，t 就是与 d 互素的元素，故而 t 的取值个数有 $\phi (d)$个，进而 $$k=t\frac{n}{d}$$也有 $\phi (d)$ 个取值。进而，循环群 G 中， 阶为 d 的元素必然共有 $\phi (d)$ 个，讨论完毕！

3. 循环群 G 中，根据阶不同，对所有元素进行划分，引出定理 $$n=\sum _{d|n}\phi (d)$$
   证明： 因为元素的阶是唯一的，而根据上述讨论知道：(1) 元素的阶的必然是群阶的因子 （2）每个因子 d 对应元素阶也为 d 的元素共有 $\phi (d)$ 个，进而可以对循环群 G 的元素引出一个关系 $R=\{(a,b)o(a)=o(b),a,b\in G|\}$，基于这个关系，对循环群进行划分，划分如下图

讨论完毕！