概率论与数理统计 浙江大学 2019冬期末考试

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1.设随机变量 X 服从均值为 2 的指数分布，X 的分布函数为 F(x)，数学期望为 E(X)，方差为 D(X)，则以下结果正确的是

编号	选项
A	D(X)=E(X)
B	D(X)=4
C	$F(1)=e^{-2}$
D	$F(1)=1-e^{-2}$

2.一盒中有 3 个红球，2 个白球，3 个黄球，采用不放回抽样从中取 3 个球，以 X 表示取到的红球数，Y 表示取到的白球数。则以下结果错误的是

编号	选项
A	E(X)=63/56
B	P(X=1,Y=1)=3/56
C	E(Y)
D	P(X=0,Y=1)=3/28

3.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{l}2,0<y<x<1\\ 0,otherwise\end{array}$ 则以下结果正确的是

编号	选项
A	P(X<0.5)=0.5
B	E(X)=2/3
C	E(Y)=E(X)
D	$f_Y(y)=\{\begin{array}{l}2y,0<y<1\\ 0,otherwise\end{array}$

4.设总体$X\sim U(0,2)$，$X_1,X_2,...,X_n$是来自 X 的简单随机样本，$Y_n$表示$X_1,X_2,...,X_n$中$X_i>1.5$出现的个数。以下结果正确的是

编号	选项
A	$Y_{1}00\sim N(25,18)$，其中“$\sim$”表示近似服从。
B	$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\to \frac{4}{3},n\to \infty$
C	$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\to 1,n\to \infty$
D	$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{100}{X}_i\sim N(1,\frac{1}{300})$，其中“$\sim$”表示近似服从。

5.研究某企业生产某种产品的产量和单位成本，数据资料如下：‍

用 Excel 计算得下面两张表：

设一元线性回归模型为$y_i\sim N({\beta }_0+{\beta }_1{x}_i,{\sigma }^2),i=1,...,12$，则以下结果不正确的是

编号	选项
A	$\widehat{{\beta }_0}=94.79548$
B	${\beta }_1$的置信水平为 95％的置信区间为（－4.83596，－3.07806）
C	在显著水平为 0.05 下回归方程的检验是不显著的
D	$\widehat{{\sigma }^2}=2.799342$

6.设随机变量 X~N(1,4)，则以下结果正确的是

编号	选项
A	0.25(X-1)~N(0,1)
B	D(X+1)=E(X+1)
C	P(X>-1)=Φ(1)
D	P(X<2)= Φ(1)

7.设(X,Y)的联合分布律为,已知 P(X=2)=0.6, P(Y≤1)=0.7,则以下结果正确的是

编号	选项
A	E(X)=1.2
B	a=0.1
C	E(X)=1
D	P(X=0︱Y=0)=0.5

8.设总体$X$具有概率密度$f(x;\theta )=\{\begin{array}{l}(\theta +1)x^{\theta },0<x<1,\theta >-1\\ 0,otherwise\end{array}$是待估未知参数。设$X_1,X_2,...,X_n$是简单随机样本，$\bar{X}$是样本均值，以下说法正确的是

编号	选项
A	似然函数$L(\theta )=(\theta +1{)}^n{x}^{n\theta }$
B	$\theta$的极大似然估计量是$\frac{-n}{\sum _{i=1}^{n}ln{X}_i}-1$
C	$\theta$的矩估计量是 ‍$\frac{\bar{X}+1}{\bar{X}+2}$
D	$\theta$的矩估计量是$\bar{X}$

9.一盒中有 4 个黑球，3 个红球，采用不放回抽样取 3 个球，则以下结果正确的是

编号	选项
A	至多取到 1 个黑球的概率为 22/35
B	至少取到 2 个黑球的概率为 22/35
C	至少取到 2 个黑球的概率为 13/35
D	至少取到 2 个黑球的概率为 4/35

10.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，则以下结果正确的是

编号	选项
A	P(X=2)=P(X=1)
B	P(X≥2︱X≥1)=P(X≥1)
C	E(X)>D(X)
D	P(X≤1)=P(X=2)

11.设总体 X 的分布律为$P(X=0)=\theta ,P(X=1)=3(1-\theta )/A,P(X=2)=(1-\theta )/4$，其中 0<θ<1 为待估未知参数。$X_1,...,X_{10}$是总体 X 的简单随机样本，$\bar{X}$是样本均值，样本值为 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 1, 2。则以下哪个说法正确?

编号	选项
A	θ 的极大似然估计值是 0.3
B	θ 的极大似然估计值是 0.28
C	θ 的矩估计值是 0.9
D	θ 的极大似然估计量是$1-0.8\bar{X}$

12.同时掷 2 颗均匀骰子，X 表示点数少的骰子的点数，则以下结果正确的是

编号	选项
A	P(X=5)=1/36
B	P(X=5)=1/18
C	P(X=4)=1/36
D	P(X≥5)=1/9

13.$(X,Y)\sim N(1,2,4,9,0.5)$，则以下结果正确的是

编号	选项
A	X+Y~N(3, 13)
B	X+Y~N(3, 19)
C	X+Y~N(3, 7)
D	D(X-Y)=13

14.设总体 X 的分布律为$P(X=1)=\theta ,P(X=2)=1-\theta$，其中 0<θ<1 为待估未知参数。从总体抽取容量为 2 的样本 X$X_1,X_2$，以下估计量不是$\theta$的无偏估计量的是

编号	选项
A	$(X_1+X_2)/2$
B	$2-(X_1+X_2)/2$
C	$2-X_2$
D	$2+2X_1-3X_2$

15.设总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$,$\mu ,\sigma$未知，从总体中抽取容量为 9 的样本，测得样本均值$\bar{x}$=1.56, 样本方差$s^2$=0.81，取置信水平为 95％，则以下哪个说法是正确的？(备用数据为:$z_{0.05}=1.645,z_{0.025}=1.96,t_{0.05}(9)=1.8331,t_{0.025}(9)=2.2622,t_{0.05}(8)=1.8595,t_{0.025}(8)=2.3060$)

编号	选项
A	μ 的单侧置信上限为 2.2518
B	μ 的双侧置信区间为（1.00215，2.11785）
C	μ 的单侧置信上限为 2.0535
D	μ 的单侧置信上限为 2.11785

16.设随机变量$X,Y$的概率密度分别为$f(x),g(y)$则$(X,Y)$的联合概率密度一定为$f(x)g(y)$。

编号	选项
A	F
B	T

17.若 X 在 (-1, 3)区间上服从均匀分布，则当$0<x<3$时，概率密度$f(x)=\frac{1}{3}$。

编号	选项
A	T
B	F

18.已知事件 A，B 发生的概率均为 0.2，A 与 B 相互独立，则 P(AB)=0.

编号	选项
A	T
B	F

19.设$f(x)$和$g(x)$都是随机变量的概率密度，$0\le a\le 1$, 则$af(x)+(1-a)g(x)$一定是概率密度。

编号	选项
A	T
B	F

20.$\theta$的相合估计一定是$\theta$的无偏估计。

编号	选项
A	F
B	T

21.有来自独立的三个正态总体$N({\mu }_1,{\theta }_1^2),N({\mu }_2,{\theta }_2^2),N({\mu }_3,{\theta }_3^2),$的容量均为 10 的样本，要用方差分析检验$H_0:{\mu }_1={\mu }_2={\mu }_3,H_1:{\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3$,不全相等，其条件是${\theta }_1^2={\theta }_2^2={\theta }_3^2$.

编号	选项
A	F
B	T

22.一盒中有 4 个黑球，3 个红球，采用不放回抽样取 4 个球，则在第 1 个取到黑球的条件下第 4 个取到黑球的概率为 1/4。

编号	选项
A	F
B	T

23.若$P(A)=0.6,P(AB)=0.4$, 则$P(\bar{B}\mid A)=1/3$.

编号	选项
A	T
B	F

24.设有成对数据$(X_i,Y_i),i=1,2,3,4$,数据差$D_i=X_i-Y_i$来自正态总体$N({\mu }_D,{\theta }_D^2),{\mu }_D,{\theta }_D$均未知，检验假设$H_0:{\mu }_D=0,H_1:{\mu }_D\ne 0$，若已获得一批数据为（3.18，2.71），（4.76，4.19），（3.89，3.62），（4.29，4.32），经计算得，‍$t=\frac{\sqrt{n}|\bar{d}|}{s_D}=2.419$，查表知$t_{0.025}(3)=3.1824,t_{0.05}(3)=2.3534$,因此在显著水平 0.05 下应该拒绝原假设。

编号	选项
A	T
B	F

25.为了检验一个四面体各面出现的概率是否均等，对该四面体随机投掷 100 次，记录各面出现的次数分别为 21，30，16，33，计算得$(21^2+30^2+16^2+33^2)/25=107.44$,查表知${\chi }_{0.05}^2(2)=5.991,{\chi }_{0.05}^2(3)=7.815,{\chi }_{0.05}^2(4)=9.488$,则对于假设“$H_0:$出现各面的概率都是 1/4”，在显著水平 0.05 下不拒绝原假设，即认为该四面体是匀称的。

编号	选项
A	F
B	T

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