例题10-13 危险的组合（Critical Mass, UVa580）

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题目描述

题意解析

有一些装有铀（用U表示）和铅（用L表示）的盒子，数量均足够多。要求把$n（n\le 30）$个盒子放成一行，但至少有3个U放在一起，有多少种放法？例如，n=4, 5, 30时答案分别为3,8和974791728。

算法设计

参考《算法竞赛入门经典（第2版）》中的提示：

答案为$f(n)$。既然有3个U放在一起，可以根据这3个U的位置分类——对，根据前面的经验，要根据“最左边的3个U”的位置分类。假定是$i、i+1和i+2$这3个盒子，则前$i-1$个盒子不能有3个U放在一起的情况。设n个盒子“没有3个U放在一起”的方案数为$g(n)=2^n-f(n)$，则前$i-1$个盒子的方案有$g(i-1)$种。后面的$n-i-2$个盒子可以随便选择，有$2^{n-i-2}$种。根据乘法原理和加法原理，$f(n)={\sum }_{i=1}^{n-2}g(i-1)2^{n-i-2}$ 。
遗憾的是，这个推理是有瑕疵的。即使前$i-1$个盒子内部不出现3个U，仍然可能和$i、i+1和i+2$组成3个U。正确的方法是强制让第i-1个盒子（如果存在）放L，则前$i-2$个盒子内部不能出现连续的3个U。因此 ，$f(n)=2^{n-3}+{\sum }_{i=2}^{n-2}g(i-2)2^{n-i-2}$ ，边界是$f(0)=f(1)=f(2)=0。g(0)=1，g(1)=2，g(2)=4$。注意上式中的$2^{n-3}$对应于i=1的情况。

算法设计

#include
using namespace std;
int main(){
    vector<int>ans={0,0,0,1};
    for(int n=4;n<=30;++n){
        ans.push_back(1<<(n-3));
        for(int i=2;i<=n-2;++i)
            ans.back()+=((1<<(i-2))-ans[i-2])*(1<<(n-i-2));
    }
    int n;
    while(cin>>n&&n!=0)
        cout<<ans[n]<<endl;
    return 0;
}