抽象代数笔记1——半群

本来想在知乎上写,后来想想,算了,拉低平均水平。。。

在知乎上找到一个不错的抽代笔记:
https://zhuanlan.zhihu.com/c_119426147?topic=%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0
可以参考。

我参考的是哈工大的近世代数课程和代数学引论。
开始没啥写的,就罗列一些概念吧:
(S, o) 代数系统, 其中o是二元代数运算: S x S -> S
如果满足结合律,就构成一个半群。

(S, o, e) 幺半群,存在左右幺元,(若存在,左右必相等)
(若存在2个左幺元,则不存在右幺元)

定理: 对于有限半群(S, o),如果 stSsS=SSt=S. ∃ s , t ∈ S , s S = S , S t = S .
那么它是 幺半群。
proof: s看为一个置换,那么显然有 sk=e s k = e ,故存在左幺元,
结论平凡。

如果一个幺半群 任意元素都有逆,那么就是群。

定理: 有限半群(S, o)是一个群,当且仅当
对于 sS,sS=S ∀ s ∈ S , s S = S 并且 tS,St=S. ∃ t ∈ S , S t = S .
proof: (S, o)是幺半群,于是 nN+,sS,sn=e. ∃ n ∈ N + , ∀ s ∈ S , s n = e .
n=1 n = 1 时显然,否则 n2 n ≥ 2 s s 的逆为 sn1 s n − 1
于是所有元素可逆,(S, o)为群。

定理: (幺)半群(S, o)的 任意多个子(幺)半群 的交 仍是子(幺)半群
proof: 证明封闭性即可。

定义:(S, o)是一个(幺)半群,A是S的一个非空子集,
则S的一切包含A的子(幺)半群的交集(由上述定理知 是子(幺)半群)
称为由A生成的子(幺)半群,记为(A)
由(a)生成的子半群 {a,a2,...,an,...} { a , a 2 , . . . , a n , . . . } 是可交换的。

定义: 半群(S, o)的一个非空子集A称为S的一个左(右)理想,
如果 SAA(ASA) S A ⊆ A ( A S ⊆ A )
如果A既是左理想,也是右理想,那么称A是S的理想。

易见: 左(右)理想的交仍是左(右)理想。
定义: (S, o),A是S的一个非空子集。
S的 所有包含A的理想的交 称为 由A生成的理想。

定理: A是半群(S, o)的一个非空子集,
则:
1.由A生成的左理想是 ASA A ⋃ S A
2.由A生成的右理想是 AAS A ⋃ A S
3.由A生成的理想是 ASAASSAS A ⋃ S A ⋃ A S ⋃ S A S

定理: A是幺半群(M, o, e)的一个非空子集,则:
1. 由A生成的左理想是 MA
2. 由A生成的右理想是 AM
3. 又A生成的理想是 MAM

定义:
一个(幺)半群称为循环(幺)半群,如果这个(幺)半群是由其中的某个元素生成的(幺)半群。
由元素a生成的循环(幺)半群记为(a)
(即:证明 包含a的子(幺)半群是S,则S是循环(幺)半群)
(a)={a,a2,...,an,...}=S ( a ) = { a , a 2 , . . . , a n , . . . } = S
即:(a)生成的子半群是 由a的方幂构成的集合=S

定理:
循环(幺)半群 是 可交换(幺)半群。
proof: 循环半群是a的生成半群,可交换。

定义: 同构
(S,o) ( S , o ) (T,) ( T , ∗ ) 是两个半群,如果存在从 S S T T 的一个双射 φ φ
使得对 a,bS ∀ a , b ∈ S
φ(a o b)=φ(a)φ(b) φ ( a   o   b ) = φ ( a ) ∗ φ ( b )
则称半群 (S,o) ( S , o ) (T,) ( T , ∗ ) 同构。记为 (S,o)(T,) ( S , o ) ≅ ( T , ∗ ) ST S ≅ T .
φ φ 称为从S到T的一个同构(映射)。
(有幺元时 φ(e)=e φ ( e ) = e ′ )

   
幺半群的Cayley定理:
任何幺半群 (M,o,e)  ( M , o , e )   同构于 变换幺半群 (L(M),o,lM) ( L ( M ) , o , l M )
proof:
构造 L(M)={ρa|ρa:MM,aM,ρa(x)=a o x,xM} L ( M ) = { ρ a | ρ a : M → M , a ∈ M , ρ a ( x ) = a   o   x , ∀ x ∈ M }
L(M) L ( M ) 为这样一个集合,其元素是由 a a 所确定的 M M 上的一个左变换。
L(M) L ( M ) 上定义乘法 "o" " o " 如下:(映射的合成)
ρa o ρb=ρa o b,ρa,ρbL(M) ρ a   o   ρ b = ρ a   o   b , ∀ ρ a , ρ b ∈ L ( M )
(L(M),o,ρe) ( L ( M ) , o , ρ e ) 是幺半群。
现在取 φ(a)=ρa φ ( a ) = ρ a ,易见同构。

定义: 同态
(S,o) ( S , o ) (T,) ( T , ∗ ) 是两个半群,如果存在从 S S T T 的一个映射 φ φ
使得对 a,bS ∀ a , b ∈ S
φ(a o b)=φ(a)φ(b) φ ( a   o   b ) = φ ( a ) ∗ φ ( b )
则称半群 (S,o) ( S , o ) (T,) ( T , ∗ ) 同态。 φ φ 称为从 S S T T 的一个同态(映射)。

(M,o,e) ( M , o , e ) (M,,e) ( M ′ , ∗ , e ′ ) 是两个幺半群,如果存在从 M M M M ′ 的一个映射 φ φ
使得对 a,bM ∀ a , b ∈ M ,有
φ(e)=e, φ(a o b)=φ(a)φ(b) φ ( e ) = e ′ ,   φ ( a   o   b ) = φ ( a ) ∗ φ ( b )
则称幺半群 (M,o,e) ( M , o , e ) (M,,e) ( M ′ , ∗ , e ′ ) 同态。 φ φ 称为从 M M M M ′ 的一个同态(映射)。
(注: φ(e)=e φ ( e ) = e ′ 无法推出,在满同态下才行)

   
定理:
(S,o) ( S , o ) 是半群, (T,) ( T , ∗ ) 是代数系。
若存在 满射 φ:ST φ : S → T 使得 x,yS ∀ x , y ∈ S
φ(x o y)=φ(x)φ(y) φ ( x   o   y ) = φ ( x ) ∗ φ ( y )
T T 是半群。

定理:
(S,o,e) ( S , o , e ) 是幺半群, (T,) ( T , ∗ ) 是半群。
φ φ S S T T 的满半群同态,
φ(e) φ ( e ) T T 的幺元,从而 (T,,φ(e)) ( T , ∗ , φ ( e ) ) 是幺半群。

定理:
(M,o,e) ( M , o , e ) (M,,e) ( M ′ , ∗ , e ′ ) 是两个幺半群。
M M M M ′ 有一个同态,
M M 的可逆元素 a a 的像 φ(a) φ ( a ) 也可逆,
并且 (φ(a))1=φ(a1) ( φ ( a ) ) − 1 = φ ( a − 1 )

   
同余关系定义:
是代数系 (X,o) ( X , o ) 上的等价关系。
a,a,b,bX ∀ a , a ′ , b , b ′ ∈ X ,如果 aa,bb a ≅ a ′ , b ≅ b ′ ,有 a o ab o b a   o   a ′ ≅ b   o   b ′
那么就称 是代数系 (X,o) ( X , o ) 上的同余关系。

定理:
是代数系 (X,o) ( X , o ) 上的一个关系。
[a],[b]X/ ∀ [ a ] , [ b ] ∈ X / ≅ ,定义“ ”:
[a][b]=[a o b] [ a ] ⋅ [ b ] = [ a   o   b ]
则“ ”是 X/ X / ≅ 上的二元代数运算,当且仅当 是同余关系。
(同余关系意味着从 X X 当中的乘法“ o o ”建立 X/ X / ≅ 当中的乘法“ ”)

定义:
(S,o) ( S , o ) (T,) ( T , ∗ ) 是两个半群。 φ φ S S T T 的同态。
半群 (S/Eφ,) ( S / E φ , ⋅ ) 称为 商半群。令 γ:SS/Eφ,aS,γ(a)=[a] γ : S → S / E φ , ∀ a ∈ S , γ ( a ) = [ a ] ,则称 γ γ S S 到商半群 S/Eφ S / E φ 的自然同态。

   
抽象代数笔记1——半群_第1张图片
幺半群的同态基本定理:
φ φ 是幺半群 (M,o,e) ( M , o , e ) (M,,e) ( M ′ , ∗ , e ′ ) 的同态,则:
1.同态像 φ(M) φ ( M ) M M ′ 的一个子幺半群。
2.由 φ φ 确定的等价关系是同余关系。即如果 aEφa,bEφb a E φ a ′ , b E φ b ′ ,那么 (a o b)Eφ(ao b) ( a   o   b ) E φ ( a ′ o   b ′ )
于是 [a],[b]M/Eφ,[a][b]=[a o b] ∀ [ a ] , [ b ] ∈ M / E φ , [ a ] ⋅ [ b ] = [ a   o   b ] M/Eφ M / E φ 上的二元代数运算, (M/Eφ,,[e]) ( M / E φ , ⋅ , [ e ] ) 是幺半群。
3.存在唯一的 M/Eφ M / E φ M M ′ 的单同态 φ¯¯¯ φ ¯ 使得:
φ=φ¯¯¯ o γ φ = φ ¯   o   γ ,其中 γ γ M M M/Eφ M / E φ 的自然同态。
4.如果 φ φ 是满同态,则 M/Eφ M / E φ M M ′ 同构。

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