全排列算法：不含重复元素，包含重复元素，字母序排列

在某些和组合数学有关的背景下，会需要生成全排列一类的数据集合。而生成全排列，最常用的有以下两种算法。

recursive generating

这个算法接受一个元素均不同的数组，通过递归的调用以生成所有全排列序列。

递归的原则在于，生成序列的全排列P(a1,a2,…,an)等价于生成序列（下面的理解很重要！！）

…

这构成了递归算法设计的deduction-case；而base-case，则是要生成全排列的序列只有一个元素。

整个算法大致上可以如下实现：

void GenePermu(int A[], int i, int n)
{
	if (i == n-1)
	{
		for (int k = 0; k < n; ++k)
		{
			cout<

其中n表示序列中元素个数，i表示当前已处理过的（想象上）元素个数。

这个算法实现上比较优雅（显然指的不是工程上的设计优雅），但是在使用上可能会有一个小问题：前面提到输入元素都是唯一不同的。那么如果输入中包含重复元素，这个算法将会生成重复的结果。

虽然在数学上倾向于确保全排列元素的互异性，但是在实际应用中，这点还是很难避免。

一种比较直接的方法是递归前确保下一次产生的元素不会发生重复。具体策略是：

在交换A[i],A[j]前，保证A[i..j-1]里没有元素和A[j]相等。

这么做是基于两个原因：

(1)每次交换A[i],A[j]后产生排列，只需要确保P(A[i],..,P[j])的排列不重复即可

(2)如果在交换A[i],A[j]前，A[i..j-1]里有元素和A[j]相等，即存在 A[k] = A[j], i<=k

改进的实现如下：

void GenePermu(int A[], int i, int n)
{
	if (i == n-1)
	{
		for (int k = 0; k < n; ++k)
		{
			cout<bool
		{
			for (int t = i; t < j; ++t)
			{
				if (A[t] == A[j])
				{
					return false;
				}
			}

			return true;
		};

		for (int k = i; k < n; ++k)
		{
			if (CheckSwapValid(A, i, k))
			{
				swap(A[k], A[i]);
				GenePermu(A, i + 1, n);
				swap(A[k], A[i]);
			}
		}
	}

}

basing on next_permutation

另一种常用的算法则是对输入的一个排列构造下一个字典序的排列。有关字典序请参考http://en.wikipedia.org/wiki/Lexicographical_order

比如，对于输入的1,3,2，会输出下一个字典序排列2,1,3

算法的大致思路如下：

(1)对于输入的字典许排列，反向查找第一对满足a[j] (2)仍旧反向查找一个下标k，使得 a[j] (3)交换a[j]和a[k]
(4)使得a[i+1..n]按递增排列

说完思路，重点是分析。

第一步是根据字典序定义进行的。

而在找到满足条件的j后，有一个隐藏的性质，即：a[j+1..n]是（非严格）单调递减排列的，这点可以由反证法结合第一步导出矛盾来证明。所以第二部中只需要查找第一个满足条件的k，也满足了最小值原则。

在第四步中，由于上面逆序条件可知，递增排列性质只需要逆置a[j+1..n]即可。

接下来考虑两个意外情况：(1)元素重复 (2)输入已经是最后一个字典序排列

其实第一个问题已经得到了解决，因为第一步中我们要满足的条件是严格的小于。并且因为这个断言，我们在第二步中查找满足条件的k时，是一定可以找到这样的k的

第二个问题比较隐蔽，如果输入已经是最后一个字典序，亦即是一个单调递减排列，那么第一步会直接越界。解决方法只需要简单保证j非负即可。

另外，如果要用这个算法产生全排列，那么则应该保证输入排列是第一个字典序，亦即单调递增排列。

代码的一个实现如下：

bool GetNextPermu(int A[], int n)
{
	int j = n - 2;
	while (A[j] >= A[j+1] && j >= 0)
	{
		--j;
	}	

	if (j < 0)
	{
		wcout<= A[i])
	{
		--i;
	}

	swap(A[j], A[i]);

	int l = j + 1, r = n - 1; 
	while (l < r)
	{
		swap(A[l], A[r]);
		++l;
		--r;
	}

	return true;
}