第1章 引论

初心

高中知道的陶哲轩(Terence Tao)，简直崇拜，惊艳于他在IMO上的表现，说是天才都太低估了。自己高中的数学竞赛成绩平平，不过学学还是挺有意思的。到了大学，就一直想读读《陶哲轩实分析》，争取读完，希望可以坚持下去。在此写些笔记，记录些东西。

陶哲轩在UCLA的主页 http://www.math.ucla.edu/~tao/
陶哲轩的WordPress https://terrytao.wordpress.com/

想法

• 有限和无限太不一样了，很多在有限范围内的式子，对于无限就不适用了，谨慎推广
• 自己学了微积分后，也有一些体会
  
  • 有限个无穷小之积是无穷小，无限个无穷小之积不一定是无穷小
  • 在某个区间上，函数只有有限个第一类间断点时，是可积的（连续函数必可积）
  • 一个函数的泰勒公式是有限项的，最后一项就是余项；而泰勒级数（幂级数）是无限项求和的
  • 泰勒展开的式子是可以代替原函数的，它们的定义域是相同的；泰勒级数有自己的收敛域，可能与原函数定义域的差别很大
  • 对于一个绝对收敛级数而言，任意改变有限项的顺序，不影响它的敛散性和收敛值
• 一个条件收敛的级数，在其项经过适当的排列之后，可以收敛到一个事先任意指定的数，也可以发散到 +∞ 或 −∞ ，也可以没有任何的和（黎曼级数定理）
• 法则、定理的使用也是有条件的，即使大多情况下条件都是满足的，总会有死角