第1章 引论

初心

高中知道的陶哲轩(Terence Tao),简直崇拜,惊艳于他在IMO上的表现,说是天才都太低估了。自己高中的数学竞赛成绩平平,不过学学还是挺有意思的。到了大学,就一直想读读《陶哲轩实分析》,争取读完,希望可以坚持下去。在此写些笔记,记录些东西。

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想法

  • 有限无限太不一样了,很多在有限范围内的式子,对于无限就不适用了,谨慎推广
  • 自己学了微积分后,也有一些体会
    • 有限个无穷小之积是无穷小,无限个无穷小之积不一定是无穷小
    • 在某个区间上,函数只有有限个第一类间断点时,是可积的(连续函数必可积)
    • 一个函数的泰勒公式是有限项的,最后一项就是余项;而泰勒级数(幂级数)是无限项求和的
    • 泰勒展开的式子是可以代替原函数的,它们的定义域是相同的;泰勒级数有自己的收敛域,可能与原函数定义域的差别很大
    • 对于一个绝对收敛级数而言,任意改变有限项的顺序,不影响它的敛散性和收敛值
  • 一个条件收敛的级数,在其项经过适当的排列之后,可以收敛到一个事先任意指定的数,也可以发散到 + ,也可以没有任何的和(黎曼级数定理)
  • 法则、定理的使用也是有条件的,即使大多情况下条件都是满足的,总会有死角

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