图论算法小结：欧拉回路

欧拉回路

欧拉回路是指在一个图G中，从起点s出发，不重复地经过所有边后又返回到起点s的一条路径。同样还有关于欧拉道路的定义，不过起点和终点不一定重合，但都是不重复地经过图中的每一条边。

判断一个图中是否存在欧拉回路（道路）通过以下条件来判断：

（1）如果图G是一个无向图，那么度数为奇数的点不能超过两个，且这两个点其中一个作为起点，另一个作为终点。如果度数均为偶数，那么所有点均可以作为起点或终点。

（2）如果图G是一个无向图，那么度数为奇数的点不能超过两个，且这两个点中入度比出度小1的点必须作为起点，另一个入度比出度大1的点必须作为终点。如果度数均为偶数，那么所有点均可以作为起点或终点。

寻找欧拉回路实际上利用的还是DFS，只不过要求了不重复经过每一条边，因此需要设置一个标记数组，标记哪些边已经被使用过，每次只能通过未使用的边来拓展新的结点。

下面的代码给出了用邻接表实现的寻找欧拉回路的方法，最终欧拉回路被放入数组中，起点在数组尾部，终点在数组头部。

#define N 1000
typedef pairP;
queue
q[N];//图的邻接表存储，first表示结点编号，second表示路径编号
struct Edge
{
	int from, to;
}path[N];//欧拉回路
int vis[N];//标记路径序号
int top, E;//top是path数组的个数，E是边数,初始设置为0
void addedge(int u, int v)
{
	q[u].push(P(v, ++E));
	q[v].push(P(u, E));
}
void euler(int u)
{
	int v;
	while (!q[u].empty())
	{
		P p = q[u].front(); q[u].pop();
		v = p.first;
		if (vis[p.second])continue;
		vis[p.second] = 1;//标记路径
		euler(v);
		path[++top].from = u;
		path[top].to = v;
	}
}

紫书上的代码：

#define N 100
int g[N][N];
int vis[N][N];
int n;

void euler(int u)
{
	for (int v = 0; v < n;v++)
	if (!g[u][v] && !vis[u][v])//用vis[u][v]来标记u->v
	{
		vis[u][v] = vis[v][u] = 1;
		euler(v);
		printf("%d %d\n", u, v);//注意，这样打印的路径是逆序的，因为是找到了终点时才开始打印的
	}
}