字符串最短编辑距离问题

问题：

设 A 和 B 是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串 A 转换为字符串 B 。这里所说的字符操作共有三种：

1. 删除一个字符；
2. 插入一个字符；
3. 将一个字符改为另一个字符。

对任给的两个字符串 A 和 B ，计算出将字符串 A 变换为字符串 B 所用的最少字符操作次数。

样例：

2
bcodeqwrty
bdq
baician
bczdd

输出：

7
5

这个问题本质上是一个无向图的问题，固定了起点和终点，起点为字符串 A ，终点为字符串 B 。但是每一个点所对应的分支太多。所以我们需要对其进行转化。

在以下特殊情况下，最短编辑距离容易求出：

• 当 A 、 B 的长度都为 0 时，最短编辑距离为 0
• 当 A 的长度为 0 ， B 的长度不为 0 ，最短编辑距离为 A 的长度
• 当 A 的长度不为 0 ， B 的长度为 0 ，，最短编辑距离为 B 的长度

我们可以将所有的字符串转化为以上的三种情况。

可以尝试使用动态规划来解决。动态规划对于有向无环图比较合适，如果我们只对字符串 A 、 B 的最后一个字符做操作，而且将“增删改”变为“删改”，那么无向图就变成了有向无环图。

使用动态规划，首先需要定义状态。我们可以把 A,B 变换成的子串的长度 $(i,j)$ 看成一个状态，然后定义状态 $(i,j)$ 的指标函数 $d(i,j)$ 为 $(i,j)$ 变为相同子串所需的最小编辑次数。

然后观察不同状态之间是如何转移的，从状态 $(i,j)$ 出发有三种决策，分别对应题目中所给出的三种字符操作（三种字符操作都是对最后一个字符的操作）。

1. 删除一个字符 ==> 删除 A 字符串的最后一个字符，转移到了 $(i-1,j)$
2. 插入一个字符 ==> 在 A 字符串末尾插入 B 字符串的一个字符，相当于 B 字符串删除一个字符，转移到了 $(i,j-1)$
3. 将一个字符改为另一个字符。 ==> 将 A 的最后一个字符改为 B 的最后一个字符，将状态转移到了 $(i-1,j-1)$

则状态转移方程为：
$$d(i,j)=min\{d(i-1,j)+1,d(i,j-1)+1,d(i-1,j-1)+c\}$$
式中，当子串的最后一个字符相同时， AB 的最小编辑距离与 AB 都去掉最后一个字母的最小编辑距离相同，所以 $c=0$ ，否则 $c=1$ 。

完整程序：

//#define LOCAL
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int maxn = 1000 + 2;
char a[maxn];
char b[maxn];
int step[maxn][maxn];
int findStep(int i, int j)
{
    int &ans = step[i][j];
    if (ans != -1)
    {
        return ans;
    }
    if (i == 0 && j == 0)
    {
        return ans = 0;
    }
    if (i == 0)
    {
        return ans = j;
    }
    else if (j == 0)
    {
        return ans = i;
    }
    int c;
    if (a[i - 1] != b[j - 1])
    {
        c = 1;
    }
    else
    {
        c = 0;
    }
    ans = min(min(findStep(i - 1, j) + 1,
                  findStep(i, j - 1) + 1),
              findStep(i - 1, j - 1) + c);
    return ans;
}

int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("data.in", "r", stdin);
    freopen("data.out", "w", stdout);
#endif // LOCAL
    int n;
    int m1, n1;
    while (cin >> n && n)
    {

        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            memset(step, -1, sizeof(step));
            cin >> a >> b;
            cout << strlen(a) << " " << strlen(b) << endl;

            m1 = strlen(a);
            n1 = strlen(b);

            cout << findStep(m1, n1) << endl;
        }
    }
    return 0;
}