问题:
设 A 和 B 是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数,将字符串 A 转换为字符串 B 。这里所说的字符操作共有三种:
- 删除一个字符;
- 插入一个字符;
- 将一个字符改为另一个字符。
对任给的两个字符串 A 和 B ,计算出将字符串 A 变换为字符串 B 所用的最少字符操作次数。
样例:
2
bcodeqwrty
bdq
baician
bczdd
输出:
7
5
这个问题本质上是一个无向图的问题,固定了起点和终点,起点为字符串 A ,终点为字符串 B 。但是每一个点所对应的分支太多。所以我们需要对其进行转化。
在以下特殊情况下,最短编辑距离容易求出:
我们可以将所有的字符串转化为以上的三种情况。
可以尝试使用动态规划来解决。动态规划对于有向无环图比较合适,如果我们只对字符串 A 、 B 的最后一个字符做操作,而且将“增删改”变为“删改”,那么无向图就变成了有向无环图。
使用动态规划,首先需要定义状态。我们可以把 A,B 变换成的子串的长度 ( i , j ) (i,j) (i,j) 看成一个状态,然后定义状态 ( i , j ) (i,j) (i,j) 的指标函数 d ( i , j ) d(i,j) d(i,j) 为 ( i , j ) (i,j) (i,j) 变为相同子串所需的最小编辑次数。
然后观察不同状态之间是如何转移的,从状态 ( i , j ) (i,j) (i,j) 出发有三种决策,分别对应题目中所给出的三种字符操作(三种字符操作都是对最后一个字符的操作)。
- 删除一个字符 ==> 删除 A 字符串的最后一个字符,转移到了 ( i − 1 , j ) (i-1,j) (i−1,j)
- 插入一个字符 ==> 在 A 字符串末尾插入 B 字符串的一个字符,相当于 B 字符串删除一个字符,转移到了 ( i , j − 1 ) (i,j-1) (i,j−1)
- 将一个字符改为另一个字符。 ==> 将 A 的最后一个字符改为 B 的最后一个字符,将状态转移到了 ( i − 1 , j − 1 ) (i-1,j-1) (i−1,j−1)
则状态转移方程为:
d ( i , j ) = m i n { d ( i − 1 , j ) + 1 , d ( i , j − 1 ) + 1 , d ( i − 1 , j − 1 ) + c } d(i,j)=min \{d(i-1,j)+1,d(i,j-1)+1,d(i-1,j-1)+c\} d(i,j)=min{d(i−1,j)+1,d(i,j−1)+1,d(i−1,j−1)+c}
式中,当子串的最后一个字符相同时, AB 的最小编辑距离与 AB 都去掉最后一个字母的最小编辑距离相同,所以 c = 0 c=0 c=0 ,否则 c = 1 c=1 c=1 。
完整程序:
//#define LOCAL
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1000 + 2;
char a[maxn];
char b[maxn];
int step[maxn][maxn];
int findStep(int i, int j)
{
int &ans = step[i][j];
if (ans != -1)
{
return ans;
}
if (i == 0 && j == 0)
{
return ans = 0;
}
if (i == 0)
{
return ans = j;
}
else if (j == 0)
{
return ans = i;
}
int c;
if (a[i - 1] != b[j - 1])
{
c = 1;
}
else
{
c = 0;
}
ans = min(min(findStep(i - 1, j) + 1,
findStep(i, j - 1) + 1),
findStep(i - 1, j - 1) + c);
return ans;
}
int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("data.in", "r", stdin);
freopen("data.out", "w", stdout);
#endif // LOCAL
int n;
int m1, n1;
while (cin >> n && n)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
memset(step, -1, sizeof(step));
cin >> a >> b;
cout << strlen(a) << " " << strlen(b) << endl;
m1 = strlen(a);
n1 = strlen(b);
cout << findStep(m1, n1) << endl;
}
}
return 0;
}