《 线性代数及其应用 （原书第4版）》——1.9 线性变换的矩阵

本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第1章，第1.9节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看

1.9 线性变换的矩阵

当一个线性变换 T是由几何中提出来或用语言叙述时，我们通常希望有关于 T(x)的公式. 下面的讨论指出，从 到 的每一个线性变换，实际上都是一个矩阵变换 ，而且变换 T的性质都归结为 A的性质. 寻找矩阵 A的关键，是了解 T完全由它对单位矩阵 的各列的作用所决定.
例1 的两列是 和 ，设T 是 到 ![screenshot](https://yqfile.a
licdn.com/31ce0ad44fd4f272717e909d0027c8f5e18dfb7a.png)的线性变换，使

求出 中任意向量x 的像.
解 写出

              ![screenshot](https://yqfile.alicdn.com/9cbabaac84476b929139105d86343435066174ba.png)   （1）

因为T 是线性变换，所以
（2）

由步骤（1）到（2）说明为什么只要知道 和 就可由任意 x决定 ，此外，因（2）把 表示为 和 的线性组合，我们可把这些向量作为矩阵 A的各列，而把（2）式写成

定理10 设 为线性变换，则存在唯一的矩阵 A，使
事实上， A是 m*n矩阵，它的第 j列是向量 ，其中 是单位矩阵 的第 j列：
（3）
证 记 ，由于 T是线性变换，知

A 的唯一性在习题33中研究.
（3）中矩阵 称为线性变换T的标准矩阵.
现在我们知道，由 到 的每个线性变换都是矩阵变换，反之亦然. 术语线性变换强调映射的性质，而矩阵变换描述这样的映射如何实现. 如下例所示.
例2 对拉伸变换T(x)=3x ，求标准矩阵.
解 写出

例3 设 为把 中每一个点逆时针旋转角度 的变换. 我们可以证明这个变换是线性变换（见1.8节图1-39），求出这个变换的标准矩阵.
解 旋转成为 ， 旋转成为 ，见图1-41.

由定理10，

1.8节例5是这个变换的特殊情形，其中 .
中的几何线性变换
例2和例3说明了几何中的线性变换，表1-2~1-5说明了其他常见的平面几何线性变换. 因这些变换都是线性的，它们完全由它们对 的各列的作用确定，而不是仅表示 和 的像，下列各表说明了这些变换对单位正方形的作用（见图1-42）.

其他的变换可以通过表1-2~1-5所列出的变换通过复合构造出来，即一个变换之后再作另一个变换，例如，作一个水平剪切变换后再做一个关于 轴的对称变换. 2.1节将证明，线性变换的复合仍是线性的（见习题34）.

存在与唯一性问题
线性变换的概念给出一种新的了解以前提到的存在唯一性问题的观点，下列两个定义给出与变换有关的术语.
定义 映射 称为到 上的映射，若 中任一 B都至少有一个 中的 x与之对应.（也称为满射.）
等价地，当 T的值域是整个余定义域 时， T是到 上的. 也就是说，若对 中每个 b，方程T(x)=b 至少有一个解.“T 是否把 映到 上？”是存在性问题. 映射T不是到 上的，若 中有某个b使方程T(x)=b无解. 见图1-43.

定义 映射 称为一对一映射（或1:1），若 中每个b 是 中至多一个x 的像. （也称为单射.）
等价地， T是一对一的，若对 中每个b ，方程 T(x)=b有唯一的解或没有解.“ T是否是一对一的？”是唯一性问题. 映射 T不是一对一的，若 中某个b是 中多个向量的像. 若没有这样的 b， T就是一对一的. 见图1-44.

表1-5中的投影变换不是一对一的，也不能将 映上到 . 表1-2、1-3和1-4中的变换是一对一的，能将 映上到 . 其他可能性在下面的两个例子中给出.
例4及随后的定理说明了关于一对一映射与映上映射的函数性质是如何与本章以前的一些概念关联起来的.
例4 设T是线性变换，它的标准矩阵为

T是否把 映上到 ？T 是否一对一映射？
解 因 A已经是阶梯形，可以立即看出， A在每一行有主元位置，由1.4节定理4，对 中每个b ，方程Ax=b 相容，换句话说，线性变换T 将 （它的定义域）映射到 上. 然而因方程 Ax=b有一个自由变量（因为有4个变量，仅有3个基本变量），每个 b 都有多个 x 的像，所以 T不是一对一的.
定理11 设 为线性变换，则T 是一对一当且仅当方程Ax=0 仅有平凡解.
证 因 T是线性的，T(0)=0 ，若 T是一对一的，方程T( x)=0至多有一个解，因此仅有零解. 若 T不是一对一的，则 中某个 b是至少 中两个相异向量，比如说是u和v的像，即 T(u)=b,T(v)=b，于是因 T是线性的.

向量 u-v不是零，因 . 因此方程T(x)=0 有多于一个解. 因而定理中两个条件同时成立或同时不成立.

定理12 设 是线性变换，设A 为 T的标准矩阵，则

1. T 把 映上到 ，当且仅当 的A列生成 .
2. T 是一对一的，当且仅当 A 的列线性无关.
   证 a. 由1.4节定理4，A 的列生成 当且仅当方程 Ax=b对每个b 都相容，换句话说，当且仅当对每个 b，方程T(x)=b 至少有一个解，这就是说， T将 映射到 上.
3. 方程T(x)=0和Ax=0 仅有记法不同. 所以由定理11， T 是一对一的当且仅当 Ax=0仅有平凡解，在1.7节（3）的命题已说明，这等价于A 的各列线性无关.
   定理12的命题（a）等价于命题“ T把 映上到 ，当且仅当 中的任一向量都是 A的列的一个线性组合.”参见1.4节定理4.

下例以及习题中，我们把列向量写成行的形式，如 ，将 T(x)写成 ，以代替更正式的 .
例5 设 ，证明T 是一对一线性变换. T 是否将 映上到 ？
解 当 x和 T(x)写成列向量，容易通过检查Ax 中每个元素的行-向量计算看出 T的标准矩阵.
（4）
故T 的确是线性变换，它的标准矩阵如（4）所示. A的列是线性无关的，因为它们互相之间不是倍数关系，由定理12（b）， T是一对一的. 为确定T 是否从 到 的映上映射，观察 A的各列生成的向量集. 因 A是3*2矩阵，由定理4可知， A的列生成 当且仅当 A有3个主元列. 这是不可能的，因 A仅有2列，所以A 的各列不能生成 ，对应的线性变换不是映上到 的. 如图1-45所示.

练习题
设 为一个线性变换，它先作水平剪切变换，将 映射为 （但 不变），然后再做关于 轴的对称变换. 假设 T是线性的，求它的标准矩阵.（提示：确定和 的像的最终位置.）
习题1.9