机械振动学习笔记1-3章

机械振动学习笔记

第1章 概论

1.1 机械振动研究的基本问题

研究振动的三要素

系统：研究对象（机械或结构）

激励：初始干扰和外界对振动系统的作用

响应：振动系统在激励作用下的动态行为

机械振动研究的三个基本问题

根据已知对象的不同的不同研究，可以分为如下三种：

振动分析：

系统

响应

激励

系统识别：

激励

系统

响应

载荷识别/环境预测：

系统

激励

响应

以上三类问题时机械振动研究的基本问题

1.2 机械振动系统的力学模型与数学模型

1.3 机械振动的分类

时变系统、时不变系统

自由振动、强迫振动/受迫振动

无阻尼振动、阻尼振动

简谐振动、非简谐周期振动、非周期性振动

确定性振动、随机振动

线振动、角振动

usw.

第2章 机械振动系统

2.1 构成力学模型的基本原件

惯性元件

在运动时产生与（角）加速度成线性关系的惯性力（矩）的元件。用参振质量来描述它的特性，简称（广义）质量。

一个刚体在运动时的动能由平动动能和转动动能组成。计算公式为：
$$E_k=\frac{1}{2}m{v}_c^2+\frac{1}{2}{J}_c{\omega }^2$$
其中$v_c$为质心C的运动速率，$J_c$为刚体关于质心C的转动惯量

弹性元件

元件在变形时将产生与变形相关、抵抗变形的弹性恢复力（矩）的元件。描述线性弹性元件特性的参数通常称为刚度系数，简称刚度。

单个线性弹性元件变形时储存的势能为：
$$E_p=\frac{1}{2}k{\Delta }^2$$
其中$\Delta$为线位移或角位移，当其为角位移时，通常将系数$k$表示为$k_{\varphi }$

阻尼元件

元件在变形时将产生与变形速度相关、阻碍变形变化变化的阻尼力（矩）的元件。黏性阻尼元件就是线性阻尼元件。描述线性阻尼元件特性的参数通常称为阻尼系数，简称阻尼。

阻尼元件在变形变化时消耗机械能功率的一半称为散逸函数。单个线性阻尼元件变形变化时对应的散逸函数为：
$$E_d=\frac{1}{2}c{v}^2$$
类似的，当$v$表示角速度时，$c$写作$c_{\varphi }$

2.2 连接、约束和激励

2.3 建立力学模型的基本原则

等效性、简易性和逐步逼近三个原则。
一个振动系统的自由度是指确定系统运动所需要的独立坐标的数目。由离散元件或集中参数元件构造的系统为有限自由度的系统，其自由度通常决定于被弹性元件隔离的惯性元件的数目。

2.3 机械振动系统力学模型的建立

第3章 单自由度系统的振动理论

3.1 单自由度振动系统的运动方程

一个单自由度系统。质量经由弹簧和阻尼器同时和基座相连。那么我们就可以得到他的运动方程：
泛定方程：
$$m\ddot{x}(t)+c\dot{x}(t)+kx(t)=f(t)\text{\hspace{1em}(3-1)}$$
定解方程：
$$\{\begin{array}{l}m\ddot{x}(t)+c\dot{x}(t)+kx(t)=f(t)\\ x(0)=x_0,\dot{x}(0)={\dot{x}}_0\end{array}\text{\hspace{1em}(3-2)}$$
在列运动方程时，除了使用牛顿定律，还可以使用功能原理。
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如果我们把动能，散逸函数，势能分别表示成如下的形式：
$$E_k=\frac{1}{2}M{\dot{x}}^2$$
$$E_d=\frac{1}{2}C{\dot{x}}^2$$
$$E_p=\frac{1}{2}K{x}^2+f_{0}x$$
由此可以得到泛定方程的一般形式：
$$M\ddot{x}(t)+C\dot{x}(t)+Kx(t)=p(t)\text{\hspace{1em}(3-4)}$$
其中$p(t)=-f_0+\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}$。如果$p(t)=0$则对应的振动称为自由振动，否则就称为受迫振动。
【例3-1】
取x为广义坐标，则其系统动能和势能分别为：
$$E_k=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}J{\dot{\theta }}^2=\frac{1}{2}(m+\frac{J}{R^2})\cdot {\dot{x}}^2$$
$$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2-mgx$$
由此我们可以得到系统的泛定方程
$$(m+\frac{J}{R^2}){\ddot{x}}^2+kx(t)=mg$$

3.2 单自由度系统的自由振动

下面我们研究以下齐次线性微分方程的定解问题：
$$\{\begin{array}{l}M\ddot{x}(t)+C\dot{x}(t)+Kx(t)=0\\ x(0)=x_0,\dot{x}(0)={\dot{x}}_0\end{array}\text{\hspace{1em}(3-5)}$$

3.2.1 无阻尼自由振动

研究的方程为：
$$M\ddot{x}(t)+Kx(t)=0\text{\hspace{1em}(3-6)}$$

试凑法

我们假设这个方程的非零解为：
$$x(t)=x_u\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\omega }_{n}t+\theta )\text{\hspace{1em}(3-7)}$$
我们将（3-7）代入方程（3-6）可得
$$(-M{\omega }_n^2+K)x_u\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\omega }_{n}t+\theta )=0\text{\hspace{1em}(3-8)}$$
显然
$$(-M{\omega }_n^2+K)x_u\text{\hspace{1em}(3-9)}$$
对于非零解，有$x_u\ne 0$，因此我们可以得到系统自由振动的频率必须满足
$${\omega }_n=\sqrt{\frac{K}{M}}\text{\hspace{1em}(3-10)}$$
${\omega }_n$也被称为固有（圆）频率。
如果我们把初始条件代入他的通解当中。那么我们就可以得到对应的系统自由振动的特解：
$$x(t)=x_0\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\omega }_{n}t+\frac{{\dot{x}}_0}{{\omega }_n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\omega }_{n}t=x_u\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\omega }_{n}t+\theta )\text{\hspace{1em}(3-11)}$$
进一步，我们可以得到自由振动的振幅和相位角的计算公式：
$$x_u=\sqrt{x_0^2+(\frac{{\dot{x}}_0}{{\omega }_n}{)}^2}$$

$$\theta =\mathrm{t}{\mathrm{g}}^{-1}\frac{x_0{\omega }_n}{{\dot{x}}_0}$$
圆频率${\omega }_n$，固有频率$f_n$以及周期$T_n$可以满足以下关系：
$$f_n=\frac{1}{T_n}\text{\hspace{1em}(3-12)}$$
$$f_n=\frac{{\omega }_n}{2\pi }\text{\hspace{1em}(3-13)}$$
$$T_n=\frac{2\pi }{{\omega }_n}\text{\hspace{1em}(3-14)}$$

特征方程法

泛定方程（3-6）的特征方程为：
$$M{\lambda }^2+K=0\text{\hspace{1em}(3-15)}$$
由此解的原方程的特征值为：
$${\lambda }_{1,2}=\pm \mathrm{j}{\omega }_n\text{\hspace{1em}(3-16)}$$
由此该方程的通解为：
$$x(t)=c_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}t}=c_1{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{n}t}+c_2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\omega }_{n}t}\text{\hspace{1em}(3-17)}$$
那么根据欧拉公式${\mathrm{e}}^{jx}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x+j\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x$可以得到，当$c_1$和$c_2$为共轭复数时，该方程有实数解。此时可以将式（3-17）表示为：
$$x(t)=x_u\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\omega }_{n}t+\theta )\text{\hspace{1em}(3-18)}$$

3.2.2 有阻尼自由振动

有阻尼自由振动泛定方程的一般形式为：
$$M\ddot{x}(t)+C\dot{x}(t)+Kx(t)=0\text{\hspace{1em}(3-20)}$$
那么他的特征方程就是：
$$M{\lambda }^2+C\lambda +K=0\text{\hspace{1em}(3-21)}$$
由此可以解得特征方程的根（即特征值）为：
$${\lambda }_{1,2}=-\frac{C}{2K}\pm \frac{\sqrt{C^2-4MK}}{2M}\text{\hspace{1em}(3-22)}$$
根据式（3-22）中的根式为实数、零还是虚数，特征值将得到不同的情况，对应$c_c^2-4MK=0$时的阻尼称为临界阻尼，有：
$$c_c=2\sqrt{MK}\text{\hspace{1em}(3-23)}$$
从而式（3-22）化为：
$${\lambda }_{1,2}=(-\zeta \pm \sqrt{{\zeta }^2-1}){\omega }_n\text{\hspace{1em}(3-24)}$$
其中，${\omega }_n=\sqrt{\frac{K}{M}}$，为$C=0$时的固有圆频率，称为系统的无阻尼固有圆频率；$\zeta =\frac{C}{c_c}=\frac{C}{2\sqrt{MK}}$，为系统实际阻尼与临界阻尼的比值，称为系统的阻尼比。
式（3-24）表明，特征值的性质取决于$\zeta$值的大小。即系统的自由振动或微分方程的通解的特性决定于$\zeta$值的大小。我们可以将有阻尼系统进行如下的分类：

有阻尼系统

欠阻尼系统
ξ<1

临界阻尼系统
ξ=1

过阻尼系统
ξ>1

1. 欠阻尼系统

阻尼比$\zeta <1$（即实际阻尼小于临界阻尼）的系统称为欠阻尼系统或弱阻尼系统。根据式（3-24），欠阻尼系统的特征值为一对共轭复数：
$${\lambda }_{1,2}=(-\zeta \pm \mathrm{j}\sqrt{1-{\zeta }^2}){\omega }_n\text{\hspace{1em}(3-25)}$$
那么其对应的微分方程方程的通解为：
$$\begin{array}{rl}x(t)& =c_1{\mathrm{e}}^{(-\zeta +\mathrm{j}\sqrt{1-{\zeta }^2}){\omega }_n}+c_2{\mathrm{e}}^{(-\zeta -\mathrm{j}\sqrt{1-{\zeta }^2}){\omega }_n}\\ & ={\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{n}t}(c_1{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\sqrt{1-{\zeta }^2}{\omega }_{n}t}+c_2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\sqrt{1-{\zeta }^2}{\omega }_{n}t})\end{array}\text{\hspace{1em}(3-26)}$$
其中$c_1,c_2$为任意常数，在他们共轭时，式（3-26）对应为实数解，可以表示为以下形式：
$$\begin{array}{rl}x(t)& ={\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{n}t}(a\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\omega }_{d}t+b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\omega }_{d}t)\\ & =A{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\omega }_d+\theta )\end{array}\text{\hspace{1em}(3-27)}$$
其中，$a,b$或$A,\theta$为通解的任意实常数，由初始条件确定；${\omega }_d=\sqrt{1-{\zeta }^2}{\omega }_n$为系统的固有圆频率。我们一般更有区分的，更准确地称之为系统的有阻尼固有圆频率。对于小阻尼$(\zeta \ll 1)$振动系统，${\omega }_d\approx {\omega }_n$。
如果我们把振动方程的初始条件代入式（3-27）我们就可以得到对应的自由整栋特解为：
$$\begin{array}{rl}x(t)& =A{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\omega }_d+\theta )\\ & ={\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{n}t}(x_0\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\omega }_{d}t+\frac{{\dot{x}}_0+\zeta {\omega }_n{x}_0}{{\omega }_d}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\omega }_{d}t)\end{array}\text{\hspace{1em}(3-27)}$$
其中，
$$\begin{array}{rl}A& =\sqrt{(\frac{{\dot{x}}_0+\zeta {\omega }_n{x}_0}{{\omega }_d}{)}^2+x_0^2}\\ \theta & =\mathrm{t}{\mathrm{g}}^{-1}\frac{x_0{\omega }_d}{{\dot{x}}_0+\zeta {\omega }_n{x}_0}\end{array}$$
由式（3-28）可知，欠阻尼系统自由振动的振幅可以看作是一随时间变化函数：
$$x_u(t)=A{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\text{\hspace{1em}(3-29)}$$
因此其相邻两个振幅之间的比值为：
$$\frac{x_u(t)}{x_u(t+T_d)}=\frac{{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{n}t}}{{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_n(t+T_d)}}={\mathrm{e}}^{\zeta {\omega }_n{T}_d}=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\frac{2\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}})\text{\hspace{1em}(3-30)}$$
考虑到欠阻尼系统自由振动的相邻两个振幅之间的比值为常数，且振幅比值只与系统阻尼比有关，我们称之为衰减比。为了方便起见，将衰减比的自然对数定义为对数衰减率$\delta$。即：
$$\delta =\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{x_u(t)}{x_u(t+T_d)}=\frac{2\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\text{\hspace{1em}(3-31)}$$
其中，$T_d$代表系统的有阻尼固有周期。$T_d=\frac{2\pi }{{\omega }_d}$。当相邻$n$个振幅时，易证：
$$\delta =\frac{1}{n}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{x_u(t)}{x_u(t+n{T}_d)}=\frac{2\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\text{\hspace{1em}(3-32)}$$
在阻尼较小时，式（3-32）可近似为：
$$\delta \approx 2\pi \zeta \text{\hspace{1em}(3-33)}$$
由式（3-33）进一步可得，当阻尼比较小时，欠阻尼系统的阻尼比可表示为：
$$\zeta \approx \frac{\delta }{2\pi }\text{\hspace{1em}(3-34)}$$

2. 临界阻尼系统

阻尼比$\zeta =1$（即实际阻尼等于临界阻尼）的系统称为临界阻尼系统。微分方程的通解为：
$$x(t)=(c_1+c_{2}t){\mathrm{e}}^{-{\omega }_{n}t}\text{\hspace{1em}(3-35)}$$

3. 过阻尼系统

阻尼比$\zeta >1$的系统称为过阻尼系统或强阻尼系统。过阻尼系统的特征值为两个不相等的负实数：
$${\lambda }_{1,2}=(-\zeta \pm \sqrt{{\zeta }^2-1}){\omega }_n\text{\hspace{1em}(3-36)}$$
对应的通解为：
$$x(t)=c_1{\mathrm{e}}^{(-\zeta +\sqrt{{\zeta }^2-1}){\omega }_{n}t}+c_2{\mathrm{e}}^{(-\zeta -\sqrt{{\zeta }^2-1}){\omega }_{n}t}$$
其中$c_1,c_2$为任意实常数。

3.3 单自由度系统简谐激励下的强迫振动

3.3.1 强迫振动的解的结构

由前面分析可知，强迫振动（或受迫振动）对应于微分方程式（3=2）中$p(t)\ne 0$，即对应以下非齐次的泛定方程：
$$M\ddot{x}(t)+C\dot{x}(t)+Kx(t)=p(t)\text{\hspace{1em}(3-38)}$$
上式该用系统的固有参数表示为：
$$\ddot{x}(t)+2\zeta {\omega }_n\dot{x}(t)+{\omega }_n^{2}x(t)=\frac{p(t)}{M}\text{\hspace{1em}(3-39)}$$
强调一遍，这里的${\omega }_n=\sqrt{\frac{K}{M}}$，这里的$\zeta =\frac{C}{2\sqrt{MK}}$。
设$x_1(t)$，$x_2(t)$分别为式（3-38）或式（3-39）的两个不同的解，令：
$$x_h(t)=x_1(t)-x_2(t)$$
因为$x_1(t)$，$x_2(t)$分别满足泛定方程，则可得：
$$M{\ddot{x}}_h(t)+C{\dot{x}}_h(t)+K{x}_h(t)=0$$
因此可知，非齐次线性微分方程的通解具有以下形式：
$$x(t)=x_s(t)+x_h(t)\text{\hspace{1em}(3-40)}$$
式中，$x_s(t)$是满足非齐次方程是（3-38）的任意一个特解；$x_h(t)$为非齐次方程对应齐次方程（即在原微分方程中令$p(t)=0$）的通解，即振动系统在没有外界激励时系统自由振动的通解。
由于对于有阻尼系统，$t\to \infty$时，$x_h(t)\to 0$。因此对于任意的初始条件，在经过足够长时间后，将趋向于相同的强迫振动。求解强迫振动的关键是求出其一个特解$x_s(t)$。
下面先研究：
$$p(t)=p_u\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega T+{\theta }_p)\text{\hspace{1em}(3-41)}$$
其中$\omega$为与系统固有频率无关的激励圆频率。那么简谐激励强迫振动的泛定方程为
$$M\ddot{x}(t)+C\dot{x}(t)+Kx(t)=p_u\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t+{\theta }_p)\text{\hspace{1em}(3-42)}$$
为了研究的方便，我们将简谐振动用复数来表示。

3.3.2 简谐振动的复数表示

根据Eular公式有
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\sigma }& =\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha +\mathrm{j}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \\ {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\sigma }& =\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha -\mathrm{j}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \end{array}\text{\hspace{1em}(3-43)}$$
由此可得：
$$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha =\frac{1}{2\mathrm{j}}({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\sigma }-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\sigma })=\mathrm{I}\mathrm{m}({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\alpha t})\text{\hspace{1em}(3-44)}$$
因此简谐振动可以表示为以下的复数形式：
$$x(t)=x_u\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t+\theta )=\mathrm{I}\mathrm{m}[x_u{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(\omega t+\theta )}]=\mathrm{I}\mathrm{m}[\overline{x}(t)]\text{\hspace{1em}(3-45)}$$
这里的$\overline{x}(t)$代表简谐函数$x(t)$的（单边）复数表示，为如下的复指数函数：
$$\overline{x}(t)=x_u{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(\omega t+\theta )}=x_u{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}=X{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}\text{\hspace{1em}(3-46)}$$
其中，$X$为复常数，称为$x(t)$的（单边）复振幅，表示为：
$$X=x_u{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta }=a+\mathrm{j}b\text{\hspace{1em}(3-47)}$$
显然，复振幅同时包含了简谐振动的振幅和相位信息。在已知振动频率的情况下，简谐振动与复振幅具有一一对应的关系，即
$$x(t)\leftrightarrow X\text{\hspace{1em}(3-48)}$$
（复振幅$X$的模就是原简谐振动的的振幅的大小，$X$的幅角就是原简谐振动的相位的大小。）
进一步我们可以把两个频率相同单振幅、相位不同的$x_1(t)$，$x_2(t)$简谐振动的线形符合，表示成他们的复振幅的线形组合的形式。
$$C_1{x}_1(t)+C_2{x}_2(t)\leftrightarrow C_1{X}_1+C_2{X}_2\text{\hspace{1em}(3-49)}$$
简谐振动的导数仍然是同频率的简谐函数，并且
有
$$\dot{x}(t)\leftrightarrow \mathrm{j}\omega X\text{\hspace{1em}(3-50)}$$
由此我们可以导出同频简谐函数满足微分方程式时，对应复振幅应满足的对应方程。设同频简谐函数$x(t)$，$p(t)$满足以下关系：
$$d_2\ddot{x}(t)+d_1\dot{x}(t)+d_{0}x(t)=p(t)\text{\hspace{1em}(3-51)}$$
对应的复振幅$X$，$P$应该满足：
$$d_2(\mathrm{j}\omega {)}^{2}X+d_1\omega \mathrm{j}X+d_{0}X=P\text{\hspace{1em}(3-52)}$$
简化得：
$$G(\omega )X=P\text{\hspace{1em}(3-53)}$$
其中，$G(\omega )=(-d_2{\omega }^2+d_0)+d_1\mathrm{j}\omega$。
由此，在分析频率$\omega$确定时，已知$x(t)$可以计算$p(t)$反之亦然。

3.3.3 简谐激励的稳态响应

根据微分方程理论，在简谐激励时，总是存在一个与激励频率相同的简谐振动特解。我们设这个特解为：
$$x_s(t)=x_{su}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t+{\theta }_{sx})\text{\hspace{1em}(3-54)}$$
在不至引起误解的情况下，我们省略$x_s(t)$的下标$s$，而将上式简记为：
$$x(t)=x_u\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t+{\theta }_x)\text{\hspace{1em}(3-55)}$$
因稳态振动的频率与激励频率相同，所以式（3-55）代入泛定方程（3-42）后，两边都是同频率的简谐函数。
方程（3-42）相应复数形式为
$$[M(\mathrm{j}\omega {)}^2+C\mathrm{j}\omega +K]X=P$$
其中，$P$，$X$分别为简谐激励$p(t)$和系统的稳态响应x(t)的复振幅，我们可以把它改写为：
$$Z(\omega )\cdot X=P\text{\hspace{1em}(3-56)}$$
其中，$Z(\omega )$称为系统阻抗，定义为
$$Z(\omega )=(K-{\omega }^{2}M)+\mathrm{j}\omega C\text{\hspace{1em}(3-57)}$$
由此得稳态响应的复振幅为
$$X=\frac{P}{Z(\omega )}=H(\omega )\cdot P\text{\hspace{1em}(3-58)}$$
式中，$H(\omega )$称为系统的频率响应函数或频率响应特性，为：
$$H(\omega )=h_u{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\theta }_h}=\frac{1}{Z(\omega )}=\frac{1}{(K-{\omega }^{2}M)+\mathrm{j}\omega C}\text{\hspace{1em}(3-59)}$$
由此得系统稳态振动的振幅和相位角分别为：
$$x_u=h_u\cdot p_u\text{\hspace{1em}(3-60)}$$
$${\theta }_x={\theta }_p+{\theta }_h\text{\hspace{1em}(3-61)}$$
式中，$h_u=h_u(\omega )$和${\theta }_h={\theta }_h(\omega )$分别为$H(\omega )$的幅值和相位角（称为幅频特性和相频特性/相频特性），分别由式（3-62）和式（3-63）计算：
$$h_u=\frac{1}{\sqrt{(K-{\omega }^{2}M{)}^2+(\omega C{)}^2}}\text{\hspace{1em}(3-62)}$$
$${\theta }_h=-\mathrm{t}{\mathrm{g}}^{-1}\frac{\omega c}{K-{\omega }^{2}M}\text{\hspace{1em}(3-63)}$$
稳态响应的振幅还可以表示为：
$$x_u=h_u\cdot p_u=R_{dy}{x}_{st}\text{\hspace{1em}(3-64)}$$
其中$x_{st}$为系统受到大小为简谐激励幅值$p_u$的静态力时对应的系统静态位移；$R_{dy}$为稳态振动的振幅与静态位移的比值，称为动力放大系数。
$$R_{dy}=\frac{x_u}{x_{st}}=h_{u}K=\frac{k}{\sqrt{(K-{\omega }^{2}M{)}^2+(\omega C{)}^2}}\text{\hspace{1em}(3-65)}$$
如果改用系统的固有参数代替式（3-59）（3-62）（3-63）（3-65）中的质量$m$，刚度$k$和阻尼$c$，系统的频率响应函数及幅频特性与相频特性，动力放大系数可以分别表示为：
$$H(\omega )=\frac{1}{K}\cdot \frac{{\omega }_n^2}{({\omega }_n^2-{\omega }^2)+\mathrm{j}2\zeta \omega {\omega }_n}=\frac{1}{K}\cdot \frac{1}{(1-{\lambda }^2)+\mathrm{j}2\zeta \lambda }\text{\hspace{1em}(3-66)}$$
$$h_u=\frac{1}{K}\cdot \frac{1}{\sqrt{(1-{\lambda }^2{)}^2+(2\zeta \lambda {)}^2}}\text{\hspace{1em}(3-67)}$$
$${\theta }_h=-\mathrm{t}{\mathrm{g}}^{-1}\frac{2\zeta \lambda }{1-{\lambda }^2}\text{\hspace{1em}(3-68)}$$
$$R_{dy}=\frac{1}{\sqrt{(1-{\lambda }^2{)}^2+(2\zeta \lambda {)}^2}}\text{\hspace{1em}(3-69)}$$
其中${\omega }_n$为系统的无阻尼固有圆频率；$\zeta$为系统阻尼比；$\lambda =\frac{\omega }{{\omega }_n}$为激励频率与系统无阻尼固有频率的比值，简称频率比。
研究单自由度同频率响应函数的幅频特性和相频特性可以得出如下这些结论：
（1）当阻尼比$\zeta <\frac{\sqrt{2}}{2}$时，在系统固有频率附近将出现共振峰值；
（2）在系统固有频率（即$\lambda \approx 1$）的共振区域（阻尼控制区），振幅的大小主要由系统阻尼比$\zeta$的大小决定，激励力主要由阻尼力平衡，阻尼对共振峰值有明显的抑止作用。
（3）$\lambda \ll 1$的区域（刚度控制区），振幅的大小主要由系统刚度$K$的大小决定，激励力主要由系统弹性力平衡。
（4）$\lambda \gg 1$的区域（质量控制区），振幅的大小主要由系统质量$M$的大小决定，激励力主要由系统惯性力平衡。
（5）稳态振动的相位角总是迟后于激励的相位角，并且激励频率越高迟后的相位角就越大；
（6）$\lambda =1$时，响应与激励的相位差$\theta =-\frac{\pi }{2}$，而与阻尼比$\zeta$无关，对应的实频特性曲线为0.
（7）当阻尼比$\zeta =\frac{\sqrt{2}}{2}$时，两个特性曲线在低频处都最为平直，这种特性最有利于测量仪表测试结果的“波形不失真”。
求出系统的稳态振动后，进一步就可以求出系统运动方程式（3-42）的通解。对于欠阻尼系统，强迫振动的通解为：
$$\begin{array}{rl}x(t)& =x_s(t)+x_h(t)\\ & =R_{dy}{x}_{st}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t+{\theta }_f+{\theta }_p)+{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{n}t}(a\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\omega }_{d}t+b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\omega }_{d}t)\end{array}\text{\hspace{1em}(3-70)}$$
如果系统的初始条件已知时，就可以求出对应的强迫振动的特解为：
$$\begin{array}{rl}x(t)& =x_s(t)+{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{n}t}[(x_0-x_{s0})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\omega }_{d}t+\frac{({\dot{x}}_0-{\dot{x}}_{s0}+\zeta {\omega }_n(x_0-x_{s0}))}{{\omega }_d}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\omega }_{d}t]\\ & =x_s(t)+{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{n}t}[x_0\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\omega }_{d}t+\frac{{\dot{x}}_0+\zeta {\omega }_n{x}_0}{{\omega }_d}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\omega }_{d}t]-{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{n}t}[x_{s0}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\omega }_{d}t+\frac{{\dot{x}}_{s0}+\zeta {\omega }_n{x}_{s0}}{{\omega }_d}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\omega }_{d}t]\end{array}\text{\hspace{1em}(3-71)}$$
上式中的第三项是由于稳态振动的初始值不等于零所产生的，它伴随稳态振动而存在，所以称为伴随自由振动。
有时我们将系统稳态响应作为其强迫振动响应，而将考虑初始条件后得到的强迫振动的完整解式（3-71）称为瞬态响应。

3.4 等效阻尼

非线性阻尼求起来太麻烦了。所以我们可以通过等效阻尼的方法把它近似地线性化。具体原则是：一个非线性阻尼如果在一个周期内耗散的能量与一个线性阻尼耗散的能量相同时，则可认为这两个阻尼等效。
易求得等效黏性阻尼一个周期做功为：
$$W_{eq}=\pi c_{eq}\omega x_u^2\text{\hspace{1em}(3-72)}$$
其中，$x_u$f为物体作简谐振动时的振幅。由此我们可以获得等效阻尼的计算公式：
$$c_{eq}=\frac{W}{\pi \omega x_n^2}\text{\hspace{1em}(3-73)}$$
下面研究一些常见非线性阻尼等效阻尼的计算方法。

干摩擦力

$$W=4f_m{x}_u\text{\hspace{1em}(3-74)}$$
由此等效黏性阻尼为：
$$c_{eq}=\frac{4f_m}{\pi \omega x_u}\text{\hspace{1em}(3-75)}$$

紊流流体阻尼

阻尼力满足：$f_c=c_l{\dot{x}}^2$。因此：
$$W=\frac{8c_l{x}_u^3{\omega }^2}{3}\text{\hspace{1em}(3-76)}$$
由此等效黏性阻尼为：
$$c_{eq}=\frac{8c_l\omega x_u}{3\pi }\text{\hspace{1em}(3-77)}$$

结构阻尼

实验表明：
$$W=a{x}_u^2\text{\hspace{1em}(3-78)}$$
由此等效黏性阻尼为：
$$c_{eq}=\frac{a}{\pi \omega }\text{\hspace{1em}(3-79)}$$

3.5 非简谐激励下的强迫振动——频域分析法

对于非简谐激励，一般可分解为各个谐波成分的叠加。将激励各谐波对应的稳态响应叠加在一起就可以获得对应非简谐激励的稳态响应。

3.5.1周期激励的谐波分解

在复数形式的Fourier级数分解形式中，通常将谐波函数表示为余弦的形式。与式（3-45）对应的简谐函数复数表示形式为：
$$x(t)=x_u\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t+\theta )=\mathrm{R}\mathrm{e}[\overline{x}(t)]=\mathrm{R}\mathrm{e}(X{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t})\text{\hspace{1em}(3-80)}$$
式中，$\overline{x}(t)$，$X$分别为简谐函数$x(t)$在余弦函数表示时的（单边）复数表示和（单边）复振幅。
这样要取实部进行计算比较繁琐，因此我们考虑利用双边复数表示对余弦函数进行分解。
$$x(t)=x_u\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t+\theta )=\frac{1}{2}{x}_u{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(\omega t+\theta )}+\frac{1}{2}{x}_u{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}(\omega t+\theta )}={\overline{x}}_{B+}(t)+{\overline{x}}_{B-}(t)\text{\hspace{1em}(3-81)}$$
式中，${\overline{x}}_{B+}(t)$，${\overline{x}}_{B-}(t)$为简谐函数$x(t)$的双边复数表示，为复指数函数，由下式表示：
$${\overline{x}}_{B+}(t)=\frac{1}{2}{x}_u{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(\omega t+\theta )}=\frac{1}{2}{x}_u{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta }\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}=X_{B+}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}\text{\hspace{1em}(3-82)}$$
$${\overline{x}}_{B-}(t)=\frac{1}{2}{x}_u{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}(\omega t+\theta )}=\frac{1}{2}{x}_u{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\theta }\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}=X_{B-}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\text{\hspace{1em}(3-83)}$$
其中，$X_{B+}$，$X_{B-}$均为复常数，称为$x(t)$的双边复振幅，由下式表示：
$$\begin{array}{rl}{X}_{B+}& =\frac{1}{2}{x}_u{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta }\\ X_{B-}& =\frac{1}{2}{x}_u{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\theta }\end{array}\text{\hspace{1em}(3-84)}$$
由此可知，双边复振幅$X_{B+}$和$X_{B-}$互为共轭复数，即$X_{B+}=(X_{B-}{)}^{\ast }$，并且有$X_{B+}=\frac{1}{2}X$。
函数满足某些条件就可以展开成傅立叶级数，分解形式为：
$$x(t)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{k=1}^{\infty }(a_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\omega }_{k}t+b_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\omega }_{k}t)=\frac{1}{2}{x}_{u0}+\sum _{k=1}^{\infty }{x}_{uk}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\omega }_{k}t+{\theta }_k)\text{\hspace{1em}(3-85)}$$
其中：
$${\omega }_k=\frac{2k\pi }{T}$$
$$a_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{\pi }^{\pi }x(t)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}kt\mathrm{d}t(n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot )$$
$$b_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{\pi }^{\pi }x(t)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}kt\mathrm{d}t(n=1,2,\cdot \cdot \cdot )$$
式中，$x(t)$被分解为一系列简谐振动分量的叠加，分解后的简谐振动分量称为周期函数$x(t)$的谐波；$a_k$，$b_k$为Fourier级数的系数；$x_{u}k$，${\theta }_k$为周期函数$x(t)$各谐波的振幅和相位角；${\omega }_k$为各谐波的振动圆频率。
如果将周期函数的每个谐波按式（3-80）转化为复数表示，则可得周期函数的复Fourier级数展开：
$$x(t)=\frac{1}{2}{X}_0+\sum _{k=1}^{\infty }\mathrm{R}\mathrm{e}(X_k{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{k}t})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{X}_{Bk}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{k}t}\text{\hspace{1em}(3-86)}$$
式中，$X_k$和$X_{Bk}$分别为周期函数$x(t)$谐波的单边和双边的复振幅，也称为复Fourier级数展开的复系数，由下式计算：
$$X_{Bk}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\omega }_{k}t}\mathrm{d}t,k=\cdot \cdot \cdot ,-2,-1,0,1,2,\cdot \cdot \cdot \text{\hspace{1em}(3-87)}$$
$$X_{Bk}=2X_{Bk}=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}x(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\omega }_{k}t}\mathrm{d}t,k=0,1,2,\cdot \cdot \cdot \text{\hspace{1em}(3-88)}$$
通过周期函数$x(t)$的复Fourier级数展开，就建立了周期函数与复振幅之间的一一对应关系，即：
$$x(t)\leftrightarrow X_k,k=0,1,2,3\cdot \cdot \cdot 或x(t)\leftrightarrow X_{Bk},k=\cdot \cdot \cdot ,-2,-1,0,1,2,\cdot \cdot \cdot \text{\hspace{1em}(3-89)}$$

3.5.2 非周期激励的谐波分解

将Fourier级数推广为Fourier变换就可以用于非周期振动的谐波分析。通过Fourier变换，可以将一个非周期函数分解为在所有频率范围内连续分布的谐波分量，即
$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\infty }\mathrm{R}\mathrm{e}[X(\omega ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}]\mathrm{d}\omega =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{X}_B(\omega ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega \text{\hspace{1em}(3-90)}$$
$$X(\omega )=2{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t,X_B(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(3-91)}$$
其中，$X(\omega )$，$X_B(\omega )$均为在频率域内连续分布的复函数，分别称为单边（余弦表示形式时的）幅值谱密度和双边幅值谱密度，简称为幅值谱。通过非周期函数$x(t)$的复Fourier变换，建立了非周期振动与幅值谱之间的一一对应关系，即
$$x(t)\leftrightarrow X_{(}\omega ),\omega \in [0,+\infty )或x(t)\leftrightarrow X_B(\omega ),\omega \in (-\infty ,+\infty )\text{\hspace{1em}(3-92)}$$
$x(t)$和$X(\omega )$或$X_B(\omega )$称为一个Fourier变换对，称$X(\omega )$或$X_B(\omega )$为$x(t)$的复Fourier变换，$x(t)$为$X(\omega )$或$X_B(\omega )$的复Fourier逆变换。

3.5.3 非简谐激励的稳态响应

设$x_t(t)$，$x_2(t)$分别对应于激励函数$p_1(t)$，$p_2(t)$的解，由此我们可以获得：
$$m({\ddot{x}}_1+{\ddot{x}}_2)+c({\dot{x}}_1+{\dot{x}}_2)+k(x_1+x_2)=p_1(t)+p_2(t)\text{\hspace{1em}(3-93)}$$
也就是$x(t)=x_1(t)+x_2(t)$对应于激励函数$p(t)=p_1(t)+p_2(t)$的解。也就是说这是一个线性系统，我们可以利用叠加原理。
由此周期为$T$的周期激励$p(t)$由叠加原理可得非简谐激励强迫振动的解，系统强迫振动的稳态响应为：
$$\begin{array}{rl}x(t)& =\sum _{i=-\infty }^{+\infty }H({\omega }_i)\cdot P_{Bi}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{i}t}\\ & =\sum _{i=-\infty }^{+\infty }\frac{P_{Bi}}{k}\cdot \frac{1}{(1-{\lambda }_i^2)+\mathrm{j}2\zeta {\lambda }_i}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{i}t}\end{array}\text{\hspace{1em}(3-95)}$$
当激励为非周期激励时，叠加计算相应转变为积分计算，与式（3-95）对应的有
$$\begin{array}{rl}x(t)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{H}_{f,x}(\omega )\cdot P_B(\omega ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{P_B(\omega )}{k}\cdot \frac{1}{(1-{\lambda }^2)+\mathrm{j}2\zeta \lambda }\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega \end{array}\text{\hspace{1em}(3-96)}$$