概率论基础-严士健 第二版 习题与补充2.4答案

概率论基础-严士健 第二版 习题与补充2.4答案
1.由性质2可知，${\xi }^{(1)},\dots ,{\xi }^{(n-1)}$与${\xi }^{(n)}$不相交，从而$\sigma ({\xi }^{(1)},\dots ,{\xi }^{(n-1)})$与$\sigma ({\xi }^{(n)})$相互独立，故${\xi }^{(1)}+\cdots +{\xi }^{(n-1)}$与${\xi }^{(n)}$相互独立。
2.由F是分布函数知$F(\infty ,\dots ,\infty )={\Pi }_{k=1}^n{G}_k(\infty )=1$从而$P({\xi }^{(k_1)}<x^{(k_1)},\dots ,{\xi }^{(k_l)}<x^{(k_l)})=F(\infty ,\dots ,\infty ,x^{(k_1)},\infty ,\dots ,\infty ,x^{(k_l)},\infty ,\dots ,\infty )={\Pi }_{j=1}^l{G}_j(x^{(j)}){\Pi }_{k\ne k_1,\dots ,k_l}{G}_k(\infty )={\Pi }_{j=1}^l\frac{G_j(x^{(j)})}{G_j(\infty )}={\Pi }_{j=1}^{l}P({\xi }^{(k_j)}<x^{(k_j)})$.
3.i)若${\xi }^{(t)},t\in T$是随机变量，那么此定义与定义1等价。
等价性证明与定理1的证明类似。
ii)结论：若${\xi }^{(k)},k=1,\dots ,n$独立，而$f_k(x^{(k)}),k=1,\dots ,n$是n个Borel可测函数，若每一$f_k({\xi }^{(k)})$有限，则可测映射族$f_k({\xi }^{(k)}),k=1,\dots ,n$独立。
证明：与推论3证明类似。
4.由于$\{f^{(k)}({\xi }^{(k)})\in B_k^{(n_k)}\}=\{{\cap }_{j=1}^{n_k}{f}_j^{(k)}({\xi }^{(k)})\in B_k^{(1)}\}=\{{\xi }^{(k)}\in B_k^{(m_k)}\}$.接下来的证明与推论3类似。