概率论基础-严士健 第二版 习题与补充3.3答案

概率论基础-严士健 第二版 习题与补充3.3答案
1.i)由于${\underline{\lim }}_{n\to \infty }{A}_n={\cup }_{n=1}^{\infty }{\cap }_{k=n}^{\infty }{A}_k$且${\cap }_{k=n}^{\infty }{A}_k$关于n递增。又因为$\mu$是测度，从而：
$\mu ({\underline{\lim }}_{n\to \infty }{A}_n)=\mu ({\cup }_{n=1}^{\infty }{\cap }_{k=n}^{\infty }{A}_k)={\lim }_{n\to \infty }\mu ({\cap }_{k=n}^{\infty }{A}_k)\le {\underline{\lim }}_{n\to \infty }\mu (A_n)$.
ii)由于${\overline{\lim }}_{n\to \infty }{A}_n={\cap }_{n=1}^{\infty }{\cup }_{k=n}^{\infty }{A}_k$且${\cup }_{k=n}^{\infty }{A}_k$关于n递减。又因为$\mu$是测度且有穷，从而：
$\mu ({\overline{\lim }}_{n\to \infty }{A}_n)=\mu ({\cap }_{n=1}^{\infty }{\cup }_{k=n}^{\infty }{A}_k)={\lim }_{n\to \infty }\mu ({\cup }_{k=n}^{\infty }{A}_k)\ge {\overline{\lim }}_{n\to \infty }\mu (A_n)$.
2.由于$|f_t(\omega )\le g(\omega ),g$关于$\mu$可积，从而$f_{t_0}$关于$\mu$可积。
由于$g-f_t\ge 0$，则$\int f_{t_0}-gd\mu =\int {\lim }_{t\to t_0}{f}_t-gd\mu \le \underset{t\to t_0}{\mathrm{liminf}}\int f_t-gd\mu$，即$\int f_{t_0}d\mu \le \underset{t\to t_0}{\mathrm{liminf}}\int f_{t}d\mu$。同理有$\int f_{t_0}d\mu \ge \underset{t\to t_0}{\mathrm{limsup}}\int f_{t}d\mu$。即证。
依概率收敛有一个子列几乎处处收敛。
其实$f_t$关于$\mu$一致可积。
3.由于当$t>0$时，有：
$\frac{\cos nt}{2^n+t^n}\le \frac{1}{2^n}$
且
${\lim }_{t\to 0^{+}}\frac{\cos nt}{2^n+t^n}=\frac{1}{2^n}$
再利用控制收敛定理立得。
4.
5.由于$|f_n(\omega )-f(\omega )|=\frac{1}{n}\to 0,n\to \infty .$从而$f_n(\omega )\to f(\omega )$关于$\omega$一致成立。
但$\int fd\mu =0,{\lim }_{n\to \infty }{f}_{n}d\mu =1$从而${\lim }_{n\to \infty }{f}_{n}d\mu \ne \int fd\mu .$