【学习笔记】利用Matlab求解常微分方程

一、常微分方程的符号解

§1.1 符号说明

§1.2 求解

y=dsolve('Equation1,Equation2,…,','Condition1,Condition2,…,','Name');

其中，dsolve函数用于求解常微分方程的符号解，Equation为微分方程（组），Condition为约束条件，Value为自变量名（默认为t）。
若未给定约束条件，则给出通解；若给出约束条件，则给出特解。

二、常微分方程的数值解

对于大部分的常微分方程，理论上其解是存在的，但我们无法求出其解析解，只能求出满足方程的一个近似的数值解。

§2.1 方程的标准形式

§2.2 求解函数

[t,y]=solver('odefun',tspan,y0,options);

符号说明：

变量名	意义
t	满足方程的数值解对应的自变量t的值
y	满足方程的数值解
solver	求解器
odefun	显式微分方程中的f(t,y)函数
tspan	求解区间[t0,tf]
y0	约束条件（列向量）
options	求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等

求解器solver说明：

求解器	说明
ode45	适用于非刚性ODE；一步算法；4,5阶Runge—Kutta方程；累计截断误差(△x)^5；大部分尝试的首选方法
ode23	适用于非刚性ODE；一步算法；2,3阶Runge—Kutta方程；累计截断误差(△x)^5；适用于精度较低的情形
ode113	适用于非刚性ODE；多步算法；Adams算法；计算时间短于ode45
ode23t	适用于刚性ODE；梯形算法；适用于适度刚性情形
ode15s	适用于刚性ODE；多步法；Gear’ s反向数值积分；中等精度；若ode45失效时，可以尝试使用
ode23s	适用于刚性ODE；单步法；2阶Rosebrock算法；低精度；精度较低时，计算时间短于ode15s
ode23tb	适用于刚性ODE；梯形算法；低精度；精度较低时，计算时间短于ode15s

§2.3 odefun函数的编写

function dx=odefun[t,x]
%% dx为返回值，是一个列向量
%% t表示时间（自变量），x是一个列向量
dx=zeros(n,1);
dx(1)=......;
dx(2)=......;
......
dx(n)=......;
end

其中，自定义函数odefun中的dx、x与一阶微分方程组的关系为：