蒙提霍尔问题(三门问题)的思考与贝叶斯分析

三门问题(Monty Hall problem)亦称为蒙提霍尔问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门可赢得该汽车,另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率?

人的直觉是换不换都是1/2,然而事实上换后赢汽车的概率是2/3。

这个问题很有意思,正确的答案和人直觉的答案不一样!

现在看这个问题,我会以贝叶斯理论去分析或者使用蒙特卡洛方法去编程模拟,得到结果。

如果不以数学的逻辑去推导计算,那怎么才能想清楚呢?

你可以这么理解:

上帝视角:第一次如果选了羊,那么决策就应该换。第一次如果选了车,那么决策不变。

事实上:第一次选羊的概率大,选车的概率小,所以换!

其实你还可以这么感性的去理解:

假如A门是选择的门,C门是另外一个未开启的门,A门在被选择以后就处于一种保护状态,相当于直接晋级了,而C门则是经过了厮杀冲到了下一关,至于此时选择A还是C呢?你就要想经过历练还能活下来的的大概率上总比走后门的强一些吧,所以一定要换成C!

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作为工科生,还是拿贝叶斯公式来分析一波:

首先看贝叶斯公式: 

蒙提霍尔问题(三门问题)的思考与贝叶斯分析_第1张图片

p(A|B)的意思是在B事件发生的情况下,A事件发生的概率。p(A,B)是两个事件同时发生的概率。

那么上面的公式可以延伸出下面的公式:

蒙提霍尔问题(三门问题)的思考与贝叶斯分析_第2张图片

好,然后我们针对这个题目,我们假设有A、B、C三个门,参赛者选择了A门,主持人打开了B门,然后要参赛者在A门和C门之间抉择换还是不换。那么如果汽车在B门后面,换与不换得到汽车的概率均为0,如果换了能赢,那么汽车必须在C门后面, 现在我们求以下概率:

我们先看分母,我们三种可能情况列一下:

蒙提霍尔问题(三门问题)的思考与贝叶斯分析_第3张图片

所以分母为:

再看分子,当车在C后面时,参赛者选择了A门,支持人只有B门可以打开,所以:

而车在C门后的概率显而易见:

然后我们就求得了换门获胜的概率:

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这个问题就结束了。然而对于贝叶斯公式还没有结束。

贝叶斯公式还会有如下写法:

蒙提霍尔问题(三门问题)的思考与贝叶斯分析_第4张图片

这个公式可以用在分类上,具体的可以去翻看我的另一篇博客

https://blog.csdn.net/macunshi/article/details/79815358,里面有使用朴素贝叶斯的方法对一条鱼的颜色进行分类的内容。

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