通俗理解 KMP 字符串匹配算法

KMP 算法是一个高效的字符串匹配算法，由Knuth、Morris、Pratt三人提出，并使用三人名字的首字母命名。在KMP之前，字符串匹配算法往往是遍历字符串的每一个字符进行比对，算法复杂度是O(mn)。而KMP算法通过预处理能够把复杂度降低到O(m+n)。

KMP算法

假设给定一个字符串 1 ABCABCABDEF，现在需要搜索字符串 2 ABCABD 在字符串 1 中出现的位置。从 0 位置开始比对，到位置 5 时发现字符不相同，字符串 1 的字符为 C，字符串 2 的字符为 D。接下来如何继续比对呢？KMP 算法的核心就在于这里。考虑到字符串 2 中有两个 AB 重复出现，因此可以把第一个 AB 移动到第二个 AB 处继续比对。这个移动过程就是利用了已经匹配的字符信息，直接将字符串前移 3 位提高了比对效率。

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假设给定一个长度为 n 的字符串 O ，查找长度为 m 的字符串 f 在 O中出现的位置，如下图所示(图片来自网络)。

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当比对到第 i 个字符不相等时，需要把字符串 f 向前移动继续比对，KMP算法通过计算最大公共长度来移动。当满足如下条件时，f 可以前移 k 位继续比对。

• 字符串 A 是 f 的一个前缀；

• 字符串 B 是 f 的一个后缀；

• 字符串 A 和字符串 B 相等。

KMP 算法的核心即在于求解 f 中每一个位置之前的字符串的前缀和后缀的最大公共长度。注意，这个最大长度不包括字符串本身。当比较到第 i 位置时，如果不相同，而此时最大公共长度为 j，则 f 前移的距离为 k = i – j 。

最大公共长度的计算

前缀是除了最后一个字符的子字符串，后缀是指除了第一个字符的子字符串。对于字符串 ABCA，前缀有 A、AB、ABC，后缀有 A、CA、BCA，相同的前缀后缀只有 A。最大公共长度是指当前位置前面的字符串相同前缀后缀的最大长度，使用 next 数组表示。根据这个规则，前面的字符串 2 ABCABD 的 next 数组如下表格所示。对于长度为 m 的字符串，next 数组的长度为 m + 1。显而易见，next[0] = next[1] = 0。

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已知 A3 = A0，next[4] = 1，计算 next[5] 时只需要比对 B4 = B1 则 A3B4 = A0B1，next[5] = next[4] + 1 = 2。

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已知 A3B4 = A0B1，next[5] = 2，计算 next[6] 时首先比较 D5 ≠ C2 则 A3B4D5 ≠ A0B1C2。如果存在一个以 B 结尾的公共前缀，那么这个前缀一定在 C2 的前面，这个前缀的长度为 next[next[5]] = 0，因此 C2 的前面没有这样的前缀，并且 D5 ≠ A0，next[6] = 0。

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假设我们现在已经求得 next[1]、next[2]、……、next[i]，现在要求next[i+1]。可以看出，如果位置 i 和位置 next[i] 处的两个字符相同，则 next[i+1] = next[i] + 1；如果两个位置的字符不相同，可以继续向前搜索，获得其最大公共长度 next[next[i]]，然后再和位置 i 的字符比较，直到能最终确定结果。（图片来自网络）

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根据上面的分析，不难写出求解 next 数组的代码如下。

public static int[] getNext(String find){
    int[] next = new int[find.length() + 1];
    //0 和 1 的值肯定是 0
    next[0] = 0;
    next[1] = 0;

    //根据 next[i] 推算 next[i+1]
    for(int i = 1; i < find.length(); i ++){
        int j = next[i];
        //比较 i 位置与 j 位置的字符
        //如果不等，则 j 取 next[j]
        while (j > 0 && (find.charAt(i) != find.charAt(j))){
            j = next[j];
        }
        //如果相等，则 j 加一即可
        if(find.charAt(i) == find.charAt(j)){
            j ++;
        }
        next[i+1] = j;
    }

    return next;
}

字符串匹配

字符串匹配的过程和求解 next 数组的过程类似。假设搜索字符串 f 在字符串 O 中出现的位置，f 的下标为 j，O 的下标为 i。如果 O(i) = f(j)，则 j = j + 1，继续比较 f 中的下一个字符；如果 O(i) ≠ f(j)，则 j = next[j]，继续比较 f 中位置为 next[j] 的字符，相当于 f 前移了 i - j 位。当 f 的下标 j 移动到末尾时，说明匹配成功，此时可以算出第一次出现的位置是 i - j。

如下图所示，假设 O 为 ABCABCABDEF，f 为 ABCABD。O(4) = f(4)，下一步继续比对 O(5) 和 f(5) 即可；O(5) ≠ f(5)，则 f 的下一个比对字符位置为 next[5] = 2，下一步继续比对 O(5) 和 f(2)，相当于 f 前移了 5 - 2 = 3 位。当比对到 O(8) = f(5) 时，f 已经比对到末尾，匹配成功，此时算出 O 中出现的位置为 8 - 5 = 3。

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根据上面的分析，不难写出匹配字符串的代码如下。

public static List indexOf(String text,String find){
    int[] next = getNext(find);
    List index = new LinkedList<>();

    //i 表示 text 中的位置，j 表示 find 中的位置
    int j = 0;
    //遍历 text 中的字符
    for(int i = 0; i < text.length(); i ++){
        //这里是 KMP 算法的关键点，移动位置为 next[j]
        while (j > 0 && (text.charAt(i) != find.charAt(j))){
            j = next[j];
        }
        //如果 i 位置和 j 位置的字符相同，移动一位
        if(text.charAt(i) == find.charAt(j)){
            j ++;
        }
        //如果 j 已经到了 find 的尾部，表示已经找到
        if(j == find.length()) {
            // i - j + 1 即为 find 在 text 中出现的位置
            index.add(i - j + 1);
            //这里是 KMP 算法的关键点，移动位置为 next[j]
            j = next[j];
        }
    }

    return index;
}

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