第二章——相平面分析

综述

相平面分析法是研究二阶系统的一种图像方法。
他的主要思想是在相平面上绘制出与初始条件有关的运动轨迹，然后来分析这些轨迹的特征。

优点：

• 简单、直观。
• 应用范围广泛：强非线性和硬非线性都可以使用。
• 一些实际的系统可以利用二阶系统来充分逼近。

缺点：

• 仅仅局限于一阶和二阶系统，不适用于高阶系统。

2.1 相平面分析的概念

相图

系统的一族相平面轨迹叫做系统的相图。

有如下二阶系统，其中，以x1和x2作为坐标轴的二维平面叫做状态空间。
$${\dot{x}}_1=f_1(x_1,x_2)$$
$${\dot{x}}_2=f_2(x_1,x_2)$$
给定初始条件x(0)，当时间t从0变化到无穷时，x(t)将在平面上绘制出一条曲线，叫做相平面轨迹。

一类重要的二阶系统微分方程形式是：
$$\ddot{x}+f(x,\dot{x})=0$$
$$x_1=x,x_2=\dot{x}$$
利用上面这个变量代换，将这个二阶微分方程化成二元一次微分方程组。
$$\dot{x_1}=x_2$$
$$\dot{x_2}=-f(x_1,x_2)$$

奇点

奇点就是相平面上的平衡点，而平衡点的定义是系统的状态能够永远保持稳定的点，也就是说，奇点是 x一阶导数为0的点。

$$f_1(x_1,x_2)=0$$
$$f_2(x_1,x_2)=0$$
求解以上两式即可得到平衡点。
非线性系统常常有多个孤立的奇点。
考察相轨迹的斜率：
$$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=\frac{f_2(x_1,x_2)}{f_1(x_1,x_2)}$$
由奇点处的定义可以知道，在奇点，这个式子变成了0/0形式的，也就是说，此时的斜率是不确定的。因此许多轨迹在这一点相交。

相平面中的对称性

通过对称性可以简化系统的分析过程；
相图的对称性也可以通过分析相轨迹的斜率的对称性来判断。

一般微分方程的斜率形式如下：
$$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{f(x_1,x_2)}{\dot{x}}$$

• 关于x1轴对称：f(x1,x2)=f(x1,-x2)
• 关于x2轴对称：f(x1,x2)=-f(-x1,x2)
• 关于原点对称：f(x1,x2)=-f(-x1,-x2)

2.2 绘制相图

分析法

分析法中包含了系统微分方程的解析解。主要应用于一些特殊的非线性系统，比如分段线性系统。

在分析法中包含了两种求解方式。

1. 求解系统的微分方程，分别解出x1和x2关于时间t的函数。然后消去时间t变量，从而构造出一个仅含x1和x2的方程：
   $$g(x_1,x_2,c)=0$$
   其中常数c表示初始条件；
   根据不同的初始条件绘制出一族相轨迹曲线，即可得到相图。

2. 直接消去时间变量t。
   比如一个质量弹簧系统：
   $$\ddot{x}+x=0$$
   在方程中利用一个代换：
   $$\ddot{x}=\frac{d\dot{x}}{dx}\frac{dx}{dt}=\dot{x}\frac{d\dot{x}}{dx}$$
   带入可得：
   $$\dot{x}\frac{d\dot{x}}{dx}=-x$$
   这样，原方程化成了一个可分离变量的微分方程，因此可直接求解出x1与x2之间的函数关系。这里说成x1与x2，实际上也是x和x的导数：
   $${\dot{x}}^2+x^2=x_0^2$$
   在分析分段线性控制系统时，可分别绘制每段控制方程的相轨迹，然后简单的将每段轨迹同时绘制在一个相平面中即可。
   对于无法进行分析求解的系统，可以利用等倾线法来绘制其相轨迹。

等倾线法

等倾线是由一组具有给定切线斜率的点的轨迹组成。

若相轨迹曲线上任意一点的斜率为$\alpha$，则有下式成立：
$$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=\frac{f_2(x_1,x_2)}{f_1(x_1,x_2)}=\alpha$$
因此也可以得出具有斜率a的等倾线方程。
$$f_2(x_1,x_2)=\alpha f_1(x_1,x_2)$$

1. 当a取某一特定值的时候，上式可在相平面上绘制出一条直线或者曲线，称为等倾线。并且在这条等倾线上，绘制出一系列的斜率为$k=\alpha$的带箭头小段线。
2. 当$\alpha$取多个值之后，就在相平面上绘制出了一系列的等倾线，和相轨迹的切线方向场。
3. 利用绘制出来的这个方向场，就可以大致描绘出给定任意初始条件的相轨迹。

下面给出一个简单的例子：
考虑质量弹簧系统，系统方程前文已经给出，其相轨迹上任一点处的斜率为：
$$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{x_1}{x_2}=\alpha$$
因此等倾线方程为：
$$x_1+\alpha x_2=0$$
也就是说，这个等倾线是一条直线。在这个直线上面绘制一系列的斜率为a的小短线，并且当a取不同值的时候，在同样绘制，最后得出相轨迹的切线方向场。绘制出系统的相轨迹如下图所示。

2.3 从相图中确定时间

利用近似关系可以得到下式：
$$\Delta x\approx \dot{x}\Delta t$$
因此利用积分法可以得到计算时间的公式：
$$t-t_0={\int }_{x_0}^x(1/\dot{x})dx$$

2.4 线性系统的相平面分析

一般形式的二阶线性系统总可以转化成下面的微分方程的形式：
$$\ddot{x}+a\dot{x}+bx=0$$
为了获取线性系统的相轨迹，需要求解上面的微分方程，得到x（t）的时间方程：
$$x(t)=k_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+k_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$$
其中$\lambda$由微分方程的特征方程来确定。并且根据${\lambda }_1$和${\lambda }_2$的不同，奇点又分为以下几种情况：

1. 稳定节点：特征值均为负实数。
2. 不稳定节点：特征值均为正实数。
3. 鞍点：特征值为一正一负实数。
4. 稳定焦点：特征值是具有负实部的共轭复数。
5. 不稳定焦点：特征值是具有正实部的共轭复数。
6. 中心点：特征值是实部为0的共轭复数。

因此可以看出，线性系统的稳定性特征是由其奇点的特性唯一确定的，但是非线性系统并不是这样。

2.5 非线性系统的相平面分析

非线性系统的局部特性

非线性系统的局部特性可以通过一个线性系统来近似逼近。

对于非线性系统，如果奇点不在原点，那么可以通过把原点状态和奇点状态之间的差异定义为一个新的状态变量，就可以把奇点转化到原点。因此，可以简单的认为非线性系统有在原点的奇点。

由上文，非线性系统：
$${\dot{x}}_1=f_1(x_1,x_2)$$
$${\dot{x}}_2=f_2(x_1,x_2)$$
利用Taylor展开，可以得到：
$$\dot{x_1}=a{x}_1+b{x}_2+g_1(x_1,x_2)$$
$$\dot{x_2}=c{x}_1+d{x}_2+g_2(x_1,x_2)$$
其中个g1和g2是高阶项，如果忽略他们，那么该系统就变成了一个线性系统。

极限环

极限环是非线性系统特有的性质，它具有两个条件：封闭的，独立的。

根据相轨迹的运动方式，可以分为三种类型的极限环：

1. 稳定的极限环：极限环周围的轨迹都收敛于它。
2. 不稳定的极限环：极限环周围的轨迹都远离它。
3. 半稳定极限环：一半远离，一半收敛。
   

2.6 极限环的存在性

有以下三个定理可以用来判断系统极限环的存在性。

在介绍下面的定理之前，做如下规定：
N：表示极限环包围的所有节点、中心点和焦点数量。
S：表示极限环包围的所有鞍点数量。

1. Poincare定理

如果一个二阶自制系统的极限环存在，则有 N=S+1.
推论：极限环一定包含至少一个平衡点。

2. Poincare-Bendixson定理

如果一个二阶自制系统的相轨迹总是维持在一个有限的区域内部，那么下面说法中必定有一个是正确的：
（a）轨迹趋向于一个平衡点
（b）轨迹趋向于一个对称的稳定极限环
（c）轨迹自身是一个极限环

3. Bendixson定理
$$\frac{\partial f_1}{\partial x_1}+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}$$

对于非线性系统，在相平面的一个区域内，如果上式不为0也不变号，那么在这个区域内不存在极限环。