每日一题(7)——0-1背包问题(动态规划)

问题描述：

一个小偷去偷金库（这个小偷比较NB~），带了一个能承重N的背包，金库里放了不同品质的金砖，以（重量，价值）形式给出，问小偷怎样拿，获利最大？

输入：

第一行：金砖数目， 背包承重能力；

其他行：金砖重量， 金砖价值

输出：

带走金砖数目；带走最大价值；金砖序号

input：

3 50
10 60
20 100
30 120

output:

2

220  

2 3

 

这道题是典型的动态规划，跟公正陪审团问题的解法相似：

利用

f[j][k]：j=带走金砖数目，k=金砖重量，f[j][k]：带走金砖数目=j，且金砖重量=k时的价值；

 

分几层循环，

最外层遍历所有的数量j：[0,n)

第二层遍历所有可能的重量：k:[0,M] 判断f[j][k]>=0来决定是否进入循环（根据j 来判断，根据j 计算j+1）

内层遍历所有的金砖i：[1,n]

if( f[j][k]+v[i] > f[j+1][k+w[i]]&&k+w[i]<=M)

{

检测i是否出现过，若没有出现过 f[j+1][k+w[i]] = f[j][k]+v[i];（初始条件是f[0][0]=0;）

}

 

 

#include
#include
#include
#include
#include 

using namespace std;

int f[30][1000];

int Path[30][1000];

int w[300];//质量;
int v[300]; //价值;

set index;//存放最终方案

int main()
{
	int i,j,k;
	int t1,t2;
	int n,M;//n为数量，m为最大重量;


	while(scanf("%d %d",&n,&M))
	{
		if(n==0&&M==0)break;
		for(i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
		memset(f,-1,sizeof(f));
		memset(Path,0,sizeof(Path));
		
		f[0][0]=0;//初始化条件，根据f[0][0]推以后的结果

		for(j=0;j=0)				//方案f[j,k]可行，从f[0][0]开始; 
				{
					for(i=1; i<=n; i++)
						if( f[j][k]+v[i] > f[j+1][k+w[i]]&&k+w[i]<=M)	//若f[j+1][k+w[i]]已经有值，则保存较大的一个;
						{
							t1=j;t2=k;
							while(t1>0&&Path[t1][t2]!=i)//验证i是否在前面出现过;
							{
								t2-=w[Path[t1][t2]];			//减前一个元素的重量;
								t1--;
							}
							if(t1==0)//若i未出现过;
							{
								f[j+1][k+w[i]] = f[j][k]+v[i];
								Path[j+1][k+w[i]]=i;
							}         
						}    
				}    
		}

		int maxNum=0,maxV=0,maxW=0;
		for (int i=1; i<=n; i++)
		{
			for (int j=0; j<=M; j++)//注意必须 =M
			{
				if(maxV::iterator iter=index.begin(); iter!=index.end(); iter++) cout<<*iter<<" ";
	}  
	return 0;   
}

0-1背包问题和陪审团问题都是属于动态规划中的同一类问题，这种问题比较难做（我比较菜鸟，这是我的感觉啊~）

这类问题关键要换个思路，要给最优解添加约束条件：f[j][k],k金砖重量就是约束条件，要根据约束条件k进行迭代k[0,M]，迭代的过程要首先判断是否符合题意：if(f[j][k]>=0)，

最内层要不断的组合没有计算过的元素，根据已知推未知f[j+1][k+w[i]] = f[j][k]+v[i];

 

另外部分背包问题可以用贪心算法解决（相当于小偷偷的是金沙）背包问题还有很多种，这都以后再讲。

 

续……

读完背包九讲发现我解题的方法略复杂，其实利用一维数组就可以实现动态规划，

根据状态转移方程：f[w]=max{f[w], f[w-c]+v}

f[w]表示在重量为w时的最优解，

参考网上一位大牛重新写的代码：

#include 

using namespace std;

const int nMax=400;		//待选物品数;
const int mMax=10000;  //最大载重;

struct{
	int wei,val;
}node[nMax];

int main()
{
	int m, n, i ,w ,dp[mMax];
	while(cin>>n>>m)//n为待选物品数量，m为最大载重量;
	{
		if(m==0&&n==0) break;
		for (i=1; i<=n;i++)
			cin>>node[i].wei>>node[i].val;
		memset(dp, 0, (m+1)*sizeof(int));

		for (i=1; i<=n; i++)
			for ( w=m; w>=node[i].wei; w-- )
				if ( dp[w] < dp[w - node[i].wei] + node[i].val )
					dp[w] = dp[w - node[i].wei] + node[i].val;

		cout<

DynamicProgram问题也真是博大精深呐~ 题在精而不在多~