算法篇——入门级算法

从今天开始，复习各种算法，每天都会去理解一种算法，争取贴出自己对每种算法的理解，今天介绍的是最基础的入门算法，最大公约数，最小公倍数，快速幂（后面会重点介绍），简单并查集（后面会重点介绍），还有排列组合（后面会重点介绍）的算法。

最大公约数和最小公倍数的算法原理

1. 最大公约数gcd的实现原理：

   欧几里德定理
   若 a=b×r+q 则gcd(a, b) = gcd(b, q).

   欧几里德定理的证明
   a = b × r + q
   设c = gcd(a, b), a = m×c, b= n×c
   q = a - b× r = (m - n × r)×c
   下面证明 m-n×r与n互质：
   假设不互质，则存在k使得 m-n×r = x×k, n = y×k.
   则:
   a = m×c = (n×r + x×k)×c = (y×r + x×k)×c×k
   b = n×c = y×c×k
   与 c=gcd(a, b) 矛盾。
   辗转相除法的算法实现
   a = b × r_1 + q_1
   if q_1 = 0
   then return b
   else
   b = q_1 × r_2 + q_2
   if q_2 = 0
   then return q_1
   else
   ……
   直到找到GCD为止。

2. 最小公倍数的实现原理

   lcm=a*b/gcd (公式)

代码实现

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define N 1009
#define inf 0x0f0f0f0f
//最大公约数
int gcd(int a,int b){
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
//最小公倍数
int lcm(int a,int b){
    return a/gcd(a,b)*b;
}
//快速幂
int Fast(int x,int n){
    int tem = x,ans = 1;
    while(n){
        if(n%2==1) ans*=tem;
        tem *= tem;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
//简单并查集
int f[N];
int ans;
void init(int n){
    for(int i = 1;i<=n;i++)
        f[i] = i;
    ans = 0;
}
int find(int x){
    if(f[x]==x) return x;
    else return f[x] = find(f[x]);
}
void Union(int a,int b){
    int f1 = find(a);
    int f2 = find(b);
    if(f1!=f2){
       f[f1] = f2;
       ans++;
    }
}
//计算排列组合
int c[N][N];
void Com(){
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(int i = 1;i0] = c[i][i] = 1;
        for(int j = 1;j1][j] + c[i-1][j-1];
        }
    }
}
void Test1(){
    Com();
    printf("gcd==%d\n",gcd(12,3));
    printf("lcm==%d\n",lcm(4,3));
    printf("fast===%d\n",Fast(2,3));
    printf("Com===%d\n",c[12][3]);
}