经典背包问题2——混合背包问题、二维费用的背包问题、分组背包问题

1. 混合背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V的背包。

物品一共有三类：

• 第一类物品只能用1次（01背包）；
• 第二类物品可以用无限次（完全背包）；
• 第三类物品最多只能用 si次（多重背包）；

每种体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i种物品的体积、价值和数量。

si=−1表示第 i种物品只能用1次；
si=0表示第 i种物品可以用无限次；
si>0表示第 i 种物品可以使用 si次；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0

0 −1≤si≤1000

输入样例

4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2

输出样例：

8

---

动态规划思路：

1. 根据之前的经验，多重背包可以转化为01背包问题看待，而完全背包就按照完全背包看待，我们只需要把这两种方式区别开来，然后再针对性地进行选取就好了。
2. 依旧是确定状态dp[i]代表背包i容量的时候，我们所能选取的物品价值最大是多少。
3. 然后就是归类，我们可以开个结构体数组，把不同种类的背包问题放进去，然后选取的时候根据选取的是哪类，再进行针对性的选取。

代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1010;//根据数据范围，适当大一些，避免段错误
int n,m;//物品种类和背包容积
vector<int> dp(N);
struct good{
    int flag;//flag==-1代表是01背包问题，flag==0代表完全背包问题
    int v,w;
};
vector<good> goods;
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        int v,w,s;
        cin>>v>>w>>s;
        if(s<0){//01背包
            goods.push_back({-1,v,w});
        }else if(s==0){//完全背包
            goods.push_back({0,v,w});
        }else{//多重背包，根据二进制思想转化为01背包
            for(int k = 1;k<=s;k*=2){
                s -= k;
                goods.push_back({-1,k*v,k*w});
            }
            if(s>0){
                goods.push_back({-1,s*v,s*w});
            }
        }
    }
    for(auto g:goods){
        if(g.flag<0){//01背包方案
            for(int j = m;j>=g.v;j--){
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-g.v]+g.w);
            }
        }else{//完全背包方案
            for(int j = g.v;j<=m;j++){
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-g.v]+g.w);
            }
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

---

2. 二维费用的背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。

每件物品只能用一次。体积是 vi，重量是 mi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V,M，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。

接下来有 N行，每行三个整数 vi,mi,wi，用空格隔开，分别表示第 i件物品的体积、重量和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。
数据范围

0

0 0 0

输入样例

4 5 6
1 2 3
2 4 4
3 4 5
4 5 6

输出样例：

8

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动态规划思路：

1. 这道题其实也不难，就是把之前的一维问题提升为了二维，以前我们是看前n件物品，当总容量为v的时候价值最大，用的框架是先遍历物品，在里面嵌套容量即可，现在我们只需要在容量里再嵌套一层不同质量就行了。
2. 定义dp[i][j]为背包容量为i，质量为j的时候，所能装得下的最大价值是多少。
3. 转移方程为：dp[j][k] = max(dp[j][k],dp[j-a][k-b]+c);，意思是要么不选第i个物品，要么选第i个物品，此时dp为dp[j-a][k-b]+c，a是第i个物品的容量，b是质量，c是价值。

代码：

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1010;
int dp[N][N];
int n,v,m;
int main(){
    cin>>n>>v>>m;
    for(int i = 0;i<n;i++){
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        for(int j = v;j>=a;j--){
            for(int k = m;k>=b;k--){
                dp[j][k] = max(dp[j][k],dp[j-a][k-b]+c);
            }
        }
    }
    cout<<dp[v][m]<<endl;
    return 0;
}

---

3. 分组背包问题

有 N 组物品和一个容量是 V的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N组数据：

每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 Si行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0

0 0

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例：

8

---

动态规划思路：
  有了之前几种题型的训练，这道题的思想就很简单了，因为每一组里只能选择一个，那么就是把每一组看成一个整体，然后再整体使用01背包。（注意：最后一层嵌套是尝试选择各组里面的物品）

代码：

#include
#include
using namespace std;
const int N = 110;
int dp[N],v[N],w[N];
int n,m;

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 0;i<n;i++){
        int s;
        cin>>s;
        for(int j = 0;j<s;j++){
            cin>>v[j]>>w[j];
        }
        for(int j = m;j>=0;j--){
            for(int k = 0;k<s;k++){
                if(j>=v[k]) dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[k]]+w[k]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}