算法中背包问题笔记

算法中背包问题笔记

参考资料

背包问题九讲

01背包问题

题目：有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

特征：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

for i=1..N
    for v=V..0
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

初始化：当要求背包恰好装满时，除f[0][0]=0外其他都置为-∞，如果不要求恰好装满，可以全部初始化为0.

完全背包问题

题目：有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

如果按照01背包的模型解的话，f[i][v]表示前i种物品恰好放入一个容量为v的背包中取得的最大价值。那么每种物品可以取0,1,2…个，对应的状态转移方程可以写成：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

但是这个方程的时间复杂度会非常高。

完全背包问题可以转化成01背包问题，方程简化为：

for i=1..N
    for v=0..V
        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

多重背包问题

题目：有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

特征：与完全背包相似，差别只是，对第i种物品有n[i]+1种取法，取0…n[i]件，f[i][v]表示前i种物品恰好放入一个容量为v的背包能获取的最大价值，状态转移方程为：
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

转化为01背包问题：

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)
    if cost*amount>=V
        CompletePack(cost,weight)
        return
    integer k=1
    while k<amount
        ZeroOnePack(k*cost,k*weight)
        amount=amount-k
        k=k*2
    ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)