Cholesky分解

注：转自http://www.cnblogs.com/vivounicorn/archive/2011/03/22/1991479.html

Cholesky分解

1、为什么要进行矩阵分解

      个人认为，首先，当数据量很大时，将一个矩阵分解为若干个矩阵的乘积可以大大降低存储空间；其次，可以减少真正进行问题处理时的计算量，毕竟算法扫描的元 素越少完成任务的速度越快，这个时候矩阵的分解是对数据的一个预处理；再次，矩阵分解可以高效和有效的解决某些问题；最后，矩阵分解可以提高算法数值稳定 性，关于这一点可以有进一步的说明，

借用一个上学时老师给的例子：

有方程组：

                

令             ，                 ，                

解方程组可得：

                

现在对b进行微小扰动：

                 ，扰动项为：

此时相应的解为：

                 。

        这个例子说明，当方程组常数项发生微小变动的时候会导致求出的结果差别相当大，而导致这种差别的并不是求解方法，而是方程组系数矩阵本身的问题，这会给我 们解决问题带来很大危害，例如，我们在用计算机求解这类问题时难以避免在计算当中出现舍入误差，如果矩阵本身性质不好会直接导致所答非所问。

        对常数向量b和矩阵A进行一个简单的扰动分析：

        1)、扰动b，原方程组为：

                 (式子1)，（ ，A非奇异）

扰动后为：

                 (式子2)

把式子1带入式子2得： ，用2-范式来衡量这种变化得： ，由于 ，于是得到：

                

而利用式子1同理可得 ，整理后得：

                             ，可见b的扰动对解的影响由 决定。

        2)、扰动A，扰动后为：

                (式子3)，（ ，A非奇异）

稍微做一下变换：

               

把式子1带入后得到：

               

对两边同时取2-范式有：

                

于是有：

                 ，整理一下就是：

                 ，A的扰动对解的影响依然是由 决定。

        3)、对于同时扰动A和b的情况偶就不推了，最后的结果依然是，扰动对解的影响依然由 决定。

        定义矩阵的条件数 来描述矩阵的病态程度，一般认为条件数小于100为良态，条件数在100到1000之间为中等程度的病态，条件数超过1000存在严重病态。以上面的矩阵A为例，采用2-范数 表示的条件数为： ，看来矩阵处于中等病态程度。

        矩阵其实就是一个给定的线性变换，特征向量描述了这个线性变换的主要方向，而特征值描述了一个特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，有关特征值和特征向量的相关概念可查看http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors ，对开篇的例子进一步观察发现，A是个对称正定矩阵，A的特征值分别为 ：14.93303437 和 ：0.06696563，两个特征值在数量级上相差很大，这意味着b发生扰动时，向量x在这两个特征向量方向上的移动距离是相差很大的——对于 对应的特征向量只需要微小的移动就可到达b的新值，而对于 ，由于它比起 太小了，因此需要x做大幅度移动才能到达b的新值，于是悲剧就发生了……………..。

        关于矩阵可以有以下各种分解方式，①矩阵的三角分解（Cholesky分解、LU分解等），②矩阵的正交三角分解(QR分解等)，③矩阵的满秩分解，④矩阵的奇异值分解(SVD)(关于SVD可以查看高人LeftNotEasy 的http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/19/svd-and-applications.html#2038925 一文以及他提供的参考资料)。

        再看矩阵A，它是个对称正定矩阵，对这种矩阵都可以进行Cholesky分解，也就是将矩阵A分解为： ，其中 为一个下三角矩阵，具体操作随后讨论，回头看方程组 ，它就变成了：

                 ，

将它看成两个方程组：

                  和 ，其中： ，特征值为 ：2.2360680和 ：0.4472136

此时采用2-范数 表示的条件数为 ，显然上面这两个方程组也都是良态的且只需要存储矩阵 的下三角部分即可，矩阵分解的优点可见一斑。

2、实正定Hermit矩阵的完全Cholesky分解

      设矩阵A有如下形式：

                                       

      借用http://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition 中的推导：

令 ，在第i次迭代时有：

                                       ，其中 为i-1维单位矩阵

定义矩阵 ：

                                      

于是要满足 ，就有：

                                      

这样一直迭代下去，直到 ，也就是有： ，最后得到分解后的下三角矩阵 的元素：

                                      

                                           

当然 也可以是上三角矩阵 ，此时

                                      

                                      

所以 的元素是：

                                      

                                         

 

一种比较直白的分解算法可以是这样的：

设有实对称矩阵:

    

以及向量 和保存分解结果的矩阵 ，算法伪码描述如下：

   1:
 for
 i:=1 to n do
                                        //逐行计算L的值，w向量初始状态为实hermit矩阵A的上三角部分的一行

   2:
     w(i .. n) := a(i,i .. n);

   3:
     for
 k:=1 to i-1 do
                                  

   4:
         temp := L(k,i);

   5:
         if
(temp != 0) then

   6:
             w(i .. n) := w(i .. n) - temp*L(k,i .. n);  //计算L(i,j)公式的分子部分

   7:
         endif
;

   8:
     endfor
;    

   9:
     w(i) := sqrt(w(i));                                 //L矩阵对角线元素计算

  10:
     w(i+1 .. n) := w(i+1 .. n) / w(i);                  //L矩阵非对角线元素计算

  11:
  

  12:
     L(i,i .. n) := w(i .. n);                           //更新L矩阵

  13:
     w(i .. n) :=0;                                      //清空w向量

  14:
 endfor
;

 

一个简单的实现如下：

   1:
 //串行完全Chlolesky分解,时间复杂度(O(n^3))

   2:
 double
 **complete_cholesky_decompose(double
 **A)

   3:
 {

   4:
     if
(NULL==A)

   5:
         return
 NULL;

   6:
  

   7:
     double
 **L=malloc_matrix();

   8:
     clear_matrix(L);

   9:
  

  10:
     int
 i,j,k,m;

  11:
  

  12:
     double
 *w=malloc_vector();

  13:
  

  14:
     clear_vector(w);//清除向量

  15:
  

  16:
     for
(i=0;i 
     
  17:
         for
(m=i;m 
     
  18:
             w[m]=A[i][m];
 
     
  19:
         }
 
     
  20:
  
 
     
  21:
         for
(k=0;k 
     
  22:
             double
 temp=L[k][i];
 
     
  23:
             if
(temp!=0){
 
     
  24:
                 for
(m=i;m 
     
  25:
                     w[m] -= temp*L[k][m];
 
     
  26:
                 }
 
     
  27:
             }
 
     
  28:
         }
 
     
  29:
  
 
     
  30:
         w[i]=sqrt(w[i]);
 
     
  31:
         for
(m=i+1;m 
     
  32:
             w[m] /=w[i];
 
     
  33:
         }
 
     
  34:
  
 
     
  35:
         for
(m=i;m 
     
  36:
             L[i][m]=w[m];
 
     
  37:
         }
 
     
  38:
  
 
     
  39:
         clear_vector(w);
 
     
  40:
     }
 
     
  41:
  
 
     
  42:
     return
 L;
 
     
  43:
 }
 
    

 

代码可以在这里 下载到。

在实践中，完全Cholesky分解有时并不是必须的，为了提高效率或者有利于编写并行算法等原因，不完全Cholesky(ICF)有时更加实用，关于ICF有很多算法，还有待学习。

3、实用工具和网址

(1)、R

         我认为R是进行关于矩阵相关操作的较好工具，它是免费的和开源的(我记的是)，功能不亚于matlab，当然它能做的事情远远不止矩阵计算，还可以做分类、聚类、回归、统计分析等等等等，R可以从http://www.r-project.org/ 获取到，同时有linux版本和windows版本。

关于矩阵的一些简单命令我稍微列一下：

1)、创建向量

数据无规律：

   1:
 >  x=c(0,1,3,4,6,8,9)  

   2:
 > x 

   3:
     [1] 0 1  3 4  6  8 9

数据有简单规律(从1~3以0.1的间隔输出)：

   1:
 > x=seq(1,3,by=0.1) 

   2:
 > x 

   3:
 [1] 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 

数据有复杂规律(从0~5，每个数字重复2次)：

   1:
 > x=rep(0:5,rep(2,6)) 

   2:
 > x 

   3:
 [1] 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

2)、创建矩阵

函数原型：

   1:
 > matrix

   2:
 function
 (data = NA, nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE
, dimnames = NULL) 

   3:
 {

   4:
     data <- as.vector(data)

   5:
     if
 (missing(nrow)) 

   6:
         nrow <- ceiling(length(data)/ncol)

   7:
     else
 if
 (missing(ncol)) 

   8:
         ncol <- ceiling(length(data)/nrow)

   9:
     .Internal(matrix(data, nrow, ncol, byrow, dimnames))

  10:
 }

  11:
 namespace
:base>

data存储矩阵数据，nrow和ncol分别为行数和列数，byrows默认为FALSE，表示矩阵数据生成时以列为主序，例如：

   1:
 > data=c( 

   2:
 + 0.0100,0.1710,0.0967,0.1661,0.1254,0.0728,0.0928,0.1272,0.1041,0.0644, 

   3:
 + 0.1710,3.3743,2.3896,3.5556,2.6312,1.6968,1.8502,2.6637,2.5208,1.2792, 

   4:
 + 0.0967,2.3896,2.5098,3.0234,2.1745,1.6661,1.5959,2.5601,2.6507,1.0512, 

   5:
 + 0.1661,3.5556,3.0234,4.3530,3.4144,2.5287,2.3244,3.6691,3.5036,1.6727, 

   6:
 + 0.1254,2.6312,2.1745,3.4144,2.9375,2.4152,1.9473,3.0911,2.9016,1.6776, 

   7:
 + 0.0728,1.6968,1.6661,2.5287,2.4152,2.5097,1.7161,2.8719,2.6663,2.0713, 

   8:
 + 0.0928,1.8502,1.5959,2.3244,1.9473,1.7161,2.0160,3.2206,2.3529,1.8967, 

   9:
 + 0.1272,2.6637,2.5601,3.6691,3.0911,2.8719,3.2206,5.8295,4.0840,3.4258, 

  10:
 + 0.1041,2.5208,2.6507,3.5036,2.9016,2.6663,2.3529,4.0840,3.8915,2.7323, 

  11:
 + 0.0644,1.2792,1.0512,1.6727,1.6776,2.0713,1.8967,3.4258,2.7323,4.3582 

  12:
 + ) 

  13:
 > a=matrix(data,nrow=10,ncol=10,byrow=TRUE
) 

  14:
 > a 

  15:
         [,1]   [,2]   [,3]   [,4]   [,5]   [,6]   [,7]   [,8]   [,9]  [,10] 

  16:
 [1,] 0.0100 0.1710 0.0967 0.1661 0.1254 0.0728 0.0928 0.1272 0.1041 0.0644 

  17:
 [2,] 0.1710 3.3743 2.3896 3.5556 2.6312 1.6968 1.8502 2.6637 2.5208 1.2792 

  18:
 [3,] 0.0967 2.3896 2.5098 3.0234 2.1745 1.6661 1.5959 2.5601 2.6507 1.0512 

  19:
 [4,] 0.1661 3.5556 3.0234 4.3530 3.4144 2.5287 2.3244 3.6691 3.5036 1.6727 

  20:
 [5,] 0.1254 2.6312 2.1745 3.4144 2.9375 2.4152 1.9473 3.0911 2.9016 1.6776 

  21:
 [6,] 0.0728 1.6968 1.6661 2.5287 2.4152 2.5097 1.7161 2.8719 2.6663 2.0713 

  22:
 [7,] 0.0928 1.8502 1.5959 2.3244 1.9473 1.7161 2.0160 3.2206 2.3529 1.8967 

  23:
 [8,] 0.1272 2.6637 2.5601 3.6691 3.0911 2.8719 3.2206 5.8295 4.0840 3.4258 

  24:
 [9,] 0.1041 2.5208 2.6507 3.5036 2.9016 2.6663 2.3529 4.0840 3.8915 2.7323 

  25:
 [10,] 0.0644 1.2792 1.0512 1.6727 1.6776 2.0713 1.8967 3.4258 2.7323 4.3582

3)、矩阵转置

   1:
 > A=matrix(0:11,nrow=3,ncol=4,byrow=TRUE
) 

   2:
 > A 

   3:
      [,1] [,2] [,3] [,4] 

   4:
 [1,]    0    1    2    3 

   5:
 [2,]    4    5    6    7 

   6:
 [3,]    8    9   10   11 

   7:
 > t(A) 

   8:
      [,1] [,2] [,3] 

   9:
 [1,]    0    4    8 

  10:
 [2,]    1    5    9 

  11:
 [3,]    2    6   10 

  12:
 [4,]    3    7   11 

4)、矩阵加减

   1:
 > A=matrix(0:11,nrow=3,ncol=4,byrow=TRUE
) 

   2:
 > B=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4,byrow=TRUE
) 

   3:
 > B-A 

   4:
      [,1] [,2] [,3] [,4] 

   5:
 [1,]    1    1    1    1 

   6:
 [2,]    1    1    1    1 

   7:
 [3,]    1    1    1    1 

   8:
 > B+A 

   9:
      [,1] [,2] [,3] [,4] 

  10:
 [1,]    1    3    5    7 

  11:
 [2,]    9   11   13   15 

  12:
 [3,]   17   19   21   23 

5)、矩阵相乘

   1:
 > A=matrix(0:11,nrow=3,ncol=4,byrow=TRUE
) 

   2:
 > B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3,byrow=TRUE
) 

   3:
 > A%*%B 

   4:
      [,1] [,2] [,3] 

   5:
 [1,]   48   54   60 

   6:
 [2,]  136  158  180 

   7:
 [3,]  224  262  300 

6)、取方阵对角元素

   1:
 > A=matrix(0:8,nrow=3,ncol=3,byrow=TRUE
) 

   2:
 > A 

   3:
      [,1] [,2] [,3] 

   4:
 [1,]    0    1    2 

   5:
 [2,]    3    4    5 

   6:
 [3,]    6    7    8 

   7:
 > diag(A) 

   8:
 [1] 0 4 8 

7)、矩阵求逆

   1:
 > A=matrix(c(1,2,3,0,4,5,0,0,6),nrow=3,ncol=3,byrow=TRUE
) 

   2:
 > solve(A) 

   3:
      [,1]  [,2]        [,3] 

   4:
 [1,]    1 -0.50 -0.08333333 

   5:
 [2,]    0  0.25 -0.20833333 

   6:
 [3,]    0  0.00  0.16666667 

8)、特征值与特征向量

   1:
 > A=matrix(c(1,2,3,0,4,5,0,0,6),nrow=3,ncol=3,byrow=TRUE
) 

   2:
 > eigen(A) 

   3:
 $values 

   4:
 [1] 6 4 1

   5:
  

   6:
 $vectors 

   7:
           [,1]      [,2] [,3] 

   8:
 [1,] 0.5108407 0.5547002    1 

   9:
 [2,] 0.7981886 0.8320503    0 

  10:
 [3,] 0.3192754 0.0000000    0 

  11:
  

9)、正定hermit矩阵的完全Cholesky分解

   1:
 > data=c( 

   2:
 + 0.0100,0.1710,0.0967,0.1661,0.1254,0.0728,0.0928,0.1272,0.1041,0.0644, 

   3:
 + 0.1710,3.3743,2.3896,3.5556,2.6312,1.6968,1.8502,2.6637,2.5208,1.2792, 

   4:
 + 0.0967,2.3896,2.5098,3.0234,2.1745,1.6661,1.5959,2.5601,2.6507,1.0512, 

   5:
 + 0.1661,3.5556,3.0234,4.3530,3.4144,2.5287,2.3244,3.6691,3.5036,1.6727, 

   6:
 + 0.1254,2.6312,2.1745,3.4144,2.9375,2.4152,1.9473,3.0911,2.9016,1.6776, 

   7:
 + 0.0728,1.6968,1.6661,2.5287,2.4152,2.5097,1.7161,2.8719,2.6663,2.0713, 

   8:
 + 0.0928,1.8502,1.5959,2.3244,1.9473,1.7161,2.0160,3.2206,2.3529,1.8967, 

   9:
 + 0.1272,2.6637,2.5601,3.6691,3.0911,2.8719,3.2206,5.8295,4.0840,3.4258, 

  10:
 + 0.1041,2.5208,2.6507,3.5036,2.9016,2.6663,2.3529,4.0840,3.8915,2.7323, 

  11:
 + 0.0644,1.2792,1.0512,1.6727,1.6776,2.0713,1.8967,3.4258,2.7323,4.3582 

  12:
 + ) 

  13:
 > a=matrix(data,nrow=10,ncol=10,byrow=TRUE
) 

  14:
 > chol(a) 

  15:
       [,1]      [,2]      [,3]      [,4]      [,5]      [,6]      [,7]      [,8]      [,9]     [,10] 

  16:
 [1,]  0.1 1.7100000 0.9670000 1.6610000 1.2540000 0.7280000 0.9280000 1.2720000 1.0410000 0.6440000 

  17:
 [2,]  0.0 0.6709694 1.0969650 1.0660545 0.7256068 0.6735329 0.3924471 0.7281703 1.1039102 0.2652282 

  18:
 [3,]  0.0 0.0000000 0.6094086 0.4066049 0.2722586 0.3663913 0.4398089 0.8718268 0.7106926 0.2256384 

  19:
 [4,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.5406286 0.8273109 0.8369753 0.3436621 0.7871389 0.5710010 0.4226980 

  20:
 [5,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.2826847 0.7831198 0.3352446 0.2797313 0.4573777 0.9425268 

  21:
 [6,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.2793255 0.2322540 0.9241146 0.2450380 0.8923532 

  22:
 [7,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.7231424 1.0953043 0.3243910 0.5908204 

  23:
 [8,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.4119291 0.4303230 0.3608438 

  24:
 [9,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.4454546 0.8321836 

  25:
 [10,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.8871720 

10)、矩阵奇异值分解

   1:
 > data=c(

   2:
 + 0.0100,0.1710,0.0967,0.1661,0.1254,0.0728,0.0928,0.1272,0.1041,0.0644,

   3:
 + 0.1710,3.3743,2.3896,3.5556,2.6312,1.6968,1.8502,2.6637,2.5208,1.2792,

   4:
 + 0.0967,2.3896,2.5098,3.0234,2.1745,1.6661,1.5959,2.5601,2.6507,1.0512,

   5:
 + 0.1661,3.5556,3.0234,4.3530,3.4144,2.5287,2.3244,3.6691,3.5036,1.6727,

   6:
 + 0.1254,2.6312,2.1745,3.4144,2.9375,2.4152,1.9473,3.0911,2.9016,1.6776,

   7:
 + 0.0728,1.6968,1.6661,2.5287,2.4152,2.5097,1.7161,2.8719,2.6663,2.0713,

   8:
 + 0.0928,1.8502,1.5959,2.3244,1.9473,1.7161,2.0160,3.2206,2.3529,1.8967,

   9:
 + 0.1272,2.6637,2.5601,3.6691,3.0911,2.8719,3.2206,5.8295,4.0840,3.4258,

  10:
 + 0.1041,2.5208,2.6507,3.5036,2.9016,2.6663,2.3529,4.0840,3.8915,2.7323,

  11:
 + 0.0644,1.2792,1.0512,1.6727,1.6776,2.0713,1.8967,3.4258,2.7323,4.3582

  12:
 + )

  13:
 > a=matrix(data,nrow=10,ncol=10,byrow=TRUE
)

  14:
 > svd(a)

  15:
 $d

  16:
  [1] 2.419118e+01 4.155429e+00 1.305297e+00 1.042439e+00 7.271958e-01 1.724779e-01 1.188910e-01 7.550273e-02 6.811257e-04 4.025360e-04

  17:
  

  18:
 $u

  19:
              [,1]        [,2]        [,3]          [,4]        [,5]         [,6]        [,7]        [,8]         [,9]        [,10]

  20:
  [1,] -0.01423809 -0.01770852  0.01046421  0.0440060554 -0.03708011  0.003989202  0.02212364 -0.02965763  0.609656748 -0.789301225

  21:
  [2,] -0.30655677 -0.38844316  0.21540302  0.5860837223 -0.20831346 -0.071321462  0.09280202 -0.53705509  0.058902791  0.127479773

  22:
  [3,] -0.27500938 -0.28653235 -0.04046986 -0.0006133085  0.62767935 -0.424262650 -0.38187184  0.16164557  0.260582126  0.163683441

  23:
  [4,] -0.39289768 -0.37181967  0.10218229  0.0430729100 -0.04830660  0.258172491 -0.19145885  0.37788201 -0.530454225 -0.406528598

  24:
  [5,] -0.32434239 -0.18416219  0.18854340 -0.2694300561 -0.38073924  0.273128771  0.08003428  0.37039768  0.491516620  0.384701079

  25:
  [6,] -0.28065826  0.08302171  0.24277466 -0.6198550162 -0.27053693 -0.402153630 -0.20235690 -0.39991126 -0.144858619 -0.119997665

  26:
  [7,] -0.26573534  0.09522360 -0.29346909  0.1374724777 -0.21528535 -0.600459122  0.52653396  0.34671820 -0.089612967 -0.053976475

  27:
  [8,] -0.44372190  0.30810327 -0.69462776  0.0748652314 -0.12439310  0.238340862 -0.32629727 -0.18852619  0.059652991  0.047118889

  28:
  [9,] -0.38271998  0.06649679  0.03894330 -0.2531095648  0.52173933  0.307376912  0.59639765 -0.24228533 -0.036358521 -0.033403328

  29:
 [10,] -0.27906174  0.69225888  0.52609547  0.3276170825  0.08203487 -0.008974789 -0.14718647  0.17374370  0.008992724  0.007135959

  30:
  

  31:
 $v

  32:
              [,1]        [,2]        [,3]          [,4]        [,5]         [,6]        [,7]        [,8]         [,9]        [,10]

  33:
  [1,] -0.01423809 -0.01770852  0.01046421  0.0440060554 -0.03708011  0.003989202  0.02212364 -0.02965763  0.609656748 -0.789301225

  34:
  [2,] -0.30655677 -0.38844316  0.21540302  0.5860837223 -0.20831346 -0.071321462  0.09280202 -0.53705509  0.058902791  0.127479773

  35:
  [3,] -0.27500938 -0.28653235 -0.04046986 -0.0006133085  0.62767935 -0.424262650 -0.38187184  0.16164557  0.260582126  0.163683441

  36:
  [4,] -0.39289768 -0.37181967  0.10218229  0.0430729100 -0.04830660  0.258172491 -0.19145885  0.37788201 -0.530454225 -0.406528598

  37:
  [5,] -0.32434239 -0.18416219  0.18854340 -0.2694300561 -0.38073924  0.273128771  0.08003428  0.37039768  0.491516620  0.384701079

  38:
  [6,] -0.28065826  0.08302171  0.24277466 -0.6198550162 -0.27053693 -0.402153630 -0.20235690 -0.39991126 -0.144858619 -0.119997665

  39:
  [7,] -0.26573534  0.09522360 -0.29346909  0.1374724777 -0.21528535 -0.600459122  0.52653396  0.34671820 -0.089612967 -0.053976475

  40:
  [8,] -0.44372190  0.30810327 -0.69462776  0.0748652314 -0.12439310  0.238340862 -0.32629727 -0.18852619  0.059652991  0.047118889

  41:
  [9,] -0.38271998  0.06649679  0.03894330 -0.2531095648  0.52173933  0.307376912  0.59639765 -0.24228533 -0.036358521 -0.033403328

  42:
 [10,] -0.27906174  0.69225888  0.52609547  0.3276170825  0.08203487 -0.008974789 -0.14718647  0.17374370  0.008992724  0.007135959

11)、矩阵QR分解

   1:
 > A=matrix(1:12,3,4)

   2:
 > qr(A)

   3:
 $qr

   4:
            [,1]      [,2]          [,3]          [,4]

   5:
 [1,] -3.7416574 -8.552360 -1.336306e+01 -1.817376e+01

   6:
 [2,]  0.5345225  1.963961  3.927922e+00  5.891883e+00

   7:
 [3,]  0.8017837  0.988693  3.443426e-16 -3.439089e-16

   8:
  

   9:
 $rank

  10:
 [1] 2

  11:
  

  12:
 $qraux

  13:
 [1] 1.267261e+00 1.149954e+00 3.443426e-16 3.439089e-16

  14:
  

  15:
 $pivot

  16:
 [1] 1 2 3 4

  17:
  

  18:
 attr(,"class"
)

  19:
 [1] "qr"

(2)、找论文的好去处

1)、http://www.pdfgratis.com/ 一个非常强大的网站，能下载到各种论文；

2)、http://jeffhuang.com/best_paper_awards.html  

(3)、编写latex公式的工具

         最初是在小桥流水的博客上发现的，地址如下：http://www.cnblogs.com/youwang/archive/2010/04/04/1704099.html ，对他的插件做了一点修改，增加的功能是：可以还原公式，例如：用该工具写公式， ，选中该公式，然后单击插件，可以看到公式的latex代码，源码可以在这里 下载到。