张量网络论文学习1——张量网络的背景和意义

系列背景简介

我算是非常偶然接触到这个领域的，因为虽然作为物理系的学生，但却一直想着去搞计算机，对于物理专业来说，除了本科要学的四大力学，以及大略知道什么固体物理，原分光冷原子之类的一系列名词，就没有更多的了解了。很快就要分流了，才发现自己实际上对于物理的方向还很不了解，才发现物理的方向多种多样，内容也丰富多彩。张量网络恰好是我学术导师的研究领域，觉得蛮有意思，就试着了解了解。

既然开始玩CSDN了，那我就把学习的内容和体会也发上来，估计不会有太多人看，如果有幸有了，那就大家一起来讨论，也纠正纠正我的错误好了。

张量网络的背景

量子多体系统的问题

量子多体系统是凝聚态物理当中非常有挑战性的一类问题，例如仍然未解决的高温超导体的问题。虽然很多这样的量子体系很难以理解和研究，但人们对于它们当中新奇的相的兴趣却在与日俱增，例如拓扑相，量子自旋液体等等。

传统标准的方法是提出一个简化的模型来描述这个相互作用的系统，比如说再超导的问题中就是库伯对或者T-J模型等，然后如果某一个条件下它恰好是好解的，那么就用各种数学操作把它解出来。但显然，这样的方法并不能很好的描述比较复杂的系统，或者说，在测度的意义上，它几乎不能用来描述任何系统。

因此我们需要一些数值的模拟的做法，来更好地描述这些复杂量子系统的性质。目前已经有了很多数值模拟的方法，但是Tensor Network具有其独特的优势（要么干嘛说它~）。

张量网络方法的意义

张量网络表示的思路与其他方法有所区别——在这里，系统的波函数是用一个相互连接的张量的网络来描述的，这些张量就像积木一样，通过“纠缠”粘连在一起。这里不再过多的涉及方法的具体内容，从总体上来讲，它最重要的优势在于它的灵活性：使用它，可以研究各种不同维度的，具有各种状态的系统。

拓宽传统模拟方法的边界

张量网络方法虽然也收到一些的限制，但是它收到的限制与很多传统方法有一定的区别，它的主要限制因素是量子多体系统中纠缠的数量和结构，这样的限制因素意味着有更新的一类的模型可以被数值计算来模拟了。

一种描述凝聚态物理新的语言

不同于传统的，只是给出波函数在某些基下的系数的方法，张量网络法给出系统相关的纠缠性质，在这里，用的更多的是张量网络图而不是对于方程进行操作，因此也更容易给出更加自然的图像。

例如，当我们用方程，用波函数的系数来讨论系统的时候，我们很难形成关于纠缠结构的直观感受，但是张量网络可以让这件事变得更加直观和直接。

多体系统高维希尔伯特空间

这可以说是张量网络成为量子多体系统不可或缺的描述方式的一个重要理由。对于多体系统，它的态的维数往往可以是粒子数指数级的，因为指数爆炸——我们都能直观感受到的，这样的维度数我们在分析计算中是不可承受的。但是就像统计物理中一样，这极大的自由度多数我们并不关心——这些自由度并不是完全平等的。很多自然中的哈密顿量都使得粒子之间的相互作用倾向于局域，例如关于纠缠熵的area-law。

我们在这些分析中就可以发现，实际上不是所有的量子态都满足能量最低态，满足的只有一小部分满足area-law的，他们只是庞大的希尔伯特空间的一个角，而张量网路给出了一个对于我们关心的角——关联的态，直接的指向，而不是去遍历希尔伯特空间的各个角落。这也是张量网络给予凝聚态物理的重要财富。

本系列主要启发（与翻译）自 < A Practical Introduction to Tensor Networks : Matrix Product States and Projected Entangled Pair States , Roman Orus , .etc>