QR分解、RQ分解与SVD
QR分解、RQ分解与SVD分解整理
1.QR分解
QR分解将一个m x m的矩阵A分解为一个正交矩阵Q与一个上三角阵R之积。常常利用Householder变换来进行QR分解的计算。
Householder变换可以将一个向量某一维度之外的其他维度化为0.以一个3 x 3的矩阵A为例。为了便于描述，假定*代表没有变化的元素，+为变换的元素，带有下标的H代表一个Householder变换。
令
，
则
H为一正交矩阵，
，令
，
得到：
2.RQ分解
RQ分解将m x m的矩阵A分解为一个上三角阵R与一个正交矩阵Q之积。通过一定的变换，RQ分解可以由QR分解得到。同样以3 x 3的矩阵A为例。
定义一个矩阵
，不难得到
。同时，P也是一个正交矩阵。
实际上，将一个矩阵左乘P相当于将矩阵上下颠倒，将一个矩阵右乘P相当于将矩阵左右颠倒。以3x3的矩阵M为例，分别左乘P和右乘P：
RQ分解可以按照以下步骤进行计算：
Step1 计算
Step2 对
进行QR分解，得到
将Step1中的式子代入Step2中，得到
那么
那么
那么
但是，注意
是一个上三角阵，则
变为一个下三角阵。此时P矩阵又可以发挥作用了，对一个下三角阵，先左右翻转，再上下翻转就可以得到一个上三角阵。大家可以以3x3的情况为例，尝试推导一下
是一个上三角矩阵。
同时，
，那么
则
，
。顺利将A矩阵分解成一个上三角矩阵R与一个正交矩阵Q。
3.SVD分解
SVD分解将m x n
的矩阵A分解为一个m阶的正交矩阵U、一个非负对角阵Σ和一个n阶的正交矩阵VT。用式子表示：
SVD分解的步骤总结如下：
Step1 计算
并进行特征分解，得到特征值和对应的特征向量，按特征值从大到小的顺序将特征向量组合成U矩阵。
Step2 计算
并进行特征分解，得到特征值和对应的特征向量，按特征值从大到小的顺序将特征向量组合成
矩阵。
Step3 将Step1或Step2中的特征值从大到小排序，并开方，依次填入
。
计算的例子参考参考中的例子。
一些应用：
RQ分解可以用于从相机矩阵P分解出内外方位元素。
SVD可以用来做压缩和信息提取，也可以用来进行最小二乘问题的求解。对于近病态的矩阵，直接求逆的结果极不稳定，这对于我们处理问题是极其不利的，而SVD可以解决这一个问题。
参考：
利用QR分解做RQ分解：https://math.stackexchange.com/questions/1640695/rq-decomposition
SVD分解的例子https://byjiang.com/2017/11/18/SVD/