QR分解、RQ分解与SVD

QR分解、RQ分解与SVD分解整理

 

1.QR分解

QR分解将一个m x m的矩阵A分解为一个正交矩阵Q与一个上三角阵R之积。常常利用Householder变换来进行QR分解的计算。

Householder变换可以将一个向量某一维度之外的其他维度化为0.以一个3 x 3的矩阵A为例。为了便于描述，假定*代表没有变化的元素，+为变换的元素，带有下标的H代表一个Householder变换。

令，

则

H为一正交矩阵，，令，

得到：

2.RQ分解

RQ分解将m x m的矩阵A分解为一个上三角阵R与一个正交矩阵Q之积。通过一定的变换，RQ分解可以由QR分解得到。同样以3 x 3的矩阵A为例。

定义一个矩阵，不难得到。同时，P也是一个正交矩阵。

实际上，将一个矩阵左乘P相当于将矩阵上下颠倒，将一个矩阵右乘P相当于将矩阵左右颠倒。以3x3的矩阵M为例，分别左乘P和右乘P：

 

RQ分解可以按照以下步骤进行计算：

Step1 计算

Step2 对进行QR分解，得到

   将Step1中的式子代入Step2中，得到

那么

那么

那么

但是，注意是一个上三角阵，则变为一个下三角阵。此时P矩阵又可以发挥作用了，对一个下三角阵，先左右翻转，再上下翻转就可以得到一个上三角阵。大家可以以3x3的情况为例，尝试推导一下是一个上三角矩阵。

同时，，那么

则，。顺利将A矩阵分解成一个上三角矩阵R与一个正交矩阵Q。

 

3.SVD分解

SVD分解将m x n的矩阵A分解为一个m阶的正交矩阵U、一个非负对角阵Σ和一个n阶的正交矩阵VT。用式子表示：

SVD分解的步骤总结如下：

Step1 计算并进行特征分解，得到特征值和对应的特征向量，按特征值从大到小的顺序将特征向量组合成U矩阵。

Step2 计算并进行特征分解，得到特征值和对应的特征向量，按特征值从大到小的顺序将特征向量组合成矩阵。

Step3 将Step1或Step2中的特征值从大到小排序，并开方，依次填入。

计算的例子参考参考中的例子。

 

一些应用：

RQ分解可以用于从相机矩阵P分解出内外方位元素。

SVD可以用来做压缩和信息提取，也可以用来进行最小二乘问题的求解。对于近病态的矩阵，直接求逆的结果极不稳定，这对于我们处理问题是极其不利的，而SVD可以解决这一个问题。

 

 

参考：

利用QR分解做RQ分解：https://math.stackexchange.com/questions/1640695/rq-decomposition

SVD分解的例子https://byjiang.com/2017/11/18/SVD/