对奇异值分解唯一性的理解

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这篇文章主要讨论一下对Singular value decomposition的理解。

 

SVD告诉我们，对于任何一个 m×n m×n的矩阵 A A，都存在这样的一个分解:

A=UΣV′ A=UΣV′

其中 U U是 m×m m×m的酉矩阵，也就是 UU∗=I UU∗=I； V V是一个 n×n n×n的酉矩阵； Σ Σ是一个 m×n m×n的矩阵，非对角上的元素都是0，对角线上的元素都是非负的实数，不管 A A是实数矩阵，还是酉空间中的矩阵，或者说有虚数元素。

 

定理告诉了我们总是存在一个这样的分解的，但并不是说这样的分解是唯一的。比如说有一个permutation matrix， J J。permutation matrix就是把单位矩阵的行进行重排列，或者列进行重排列。比如说把单位矩阵的第一行和第二行进行交换，第四行和第九行进行交换，交换后的矩阵就是一个permutaion matrix。一个矩阵 A A，左乘一个 J J，相当于对 A A的相应行进行行交换。右乘的话，相当于列交换。两个 J J相乘为一个单位矩阵，相当于对单位矩阵交换了两行之后，再交换一次，不变。

 

回到正题，任何一个 J J拿到了之后，我们有下面的式子成立

A=(UJm)(JmΣJn)(VJn)′ A=(UJm)(JmΣJn)(VJn)′

UJm UJm依然是一个酉矩阵， VJn VJn也依然是一个酉矩阵。这里 J J的小角标表示 J J的大小，是 m×m m×m的还是 n×n n×n的。如果说 m≥n m≥n，并且 Jn Jn是 Jm Jm左上角的， Jm Jm右下角是一个单位阵，右上角和左下角都是0矩阵的话，那么 JmΣJn JmΣJn依然也是一个对角阵。之前对 Jm Jm和 Jn Jn的描述，相当于是说，如果 Jm Jm使得 Σ Σ的第 i i行和第 j j行交换的话，那么 Jn Jn应该使得 Σ Σ的第 i i列和第 j j列进行交换。从而使得 JmΣJn JmΣJn依然是一个非对角线上元素都是0的矩阵，相当于是将 Σ Σ的对角线上的元素进行了一个重新排列。这是事实告诉我们，SVD的分解是不唯一的。

 

接下来再考虑一点，如果说 Σ Σ唯一确定之后，这个 U U和 V V是否能够唯一确定的呢？我们再引入一个矩阵，用 Km Km表示，是一个 m×m m×m的对角方阵，对角线上的元素具有 eiϕ eiϕ的形式，其中 ϕ ϕ可是互相不相同。根据定义，我们有 KmK∗m=I KmKm∗=I。那么

A=UKmK∗mΣKn(VKn)∗ A=UKmKm∗ΣKn(VKn)∗

其中 UKm UKm和 VKn VKn分别仍然是酉阵，如果说 Km Km的对角线上第 i i个元素和 Kn Kn对角线上第 i i个元素相同的话，那么 K∗mΣKn=Σ Km∗ΣKn=Σ。也就是说，如果 U U的第 i i列乘以 eiϕ eiϕ，并且 V V的第 i i列也乘以 eiϕ eiϕ，那么结论依然成立。

 

然后，我们继续疑问：如果 Σ Σ给定，并且允许 U U和 V V差一个 eiϕ eiϕ的话，那么 U U和 V V是否能够唯一确定?

这一种情况，比较麻烦。如果说 σi σi都是non-degenerate的话，那么是唯一确定的。否则的话，依然不能够唯一确定。

 

对degenerate的定义是这样子的。如果 σi σi是degenerate的，那么它有两个互相独立的singular vector。

在这里补充一下，singular value就是 σi σi，而 ui ui和 vi vi分别是singular vector，其中要求 i<=minm,n i<=minm,n。并且有下面的式子成立

Avi=σui Avi=σui

并且

A∗ui=σvi A∗ui=σvi

 

如果说 σi σi都是不一样的，那么所有的 σi σi都是non-degenerate的，也就是说这个时候， U U和 V V都是唯一确定的，在一定意义下。如果说 A A是一个实数矩阵， U U和 V V可以也是实数的，这样的话，对于其唯一确定的理解是，差一个符号。

 

这里对于degenerate的讨论比较少，以后有时间补上。