机器学习笔记_数学基础_7-凸优化理论

优化问题

minf0(x)
subjecttofi(x)≤bi,i=1,⋯,m

x=(x1,⋯,xn) 称为优化变量
f0 称为目标函数
fi 称为约束函数

• 最小二乘问题 (无约束条件；目标函数是若干平和)

  minf0(x)=||Ax−b||22=∑ki=1(aTi−bi)2

• 线性规划： 目标函数 f0 和约束函数 f1,⋯,fn 均是线性函数

• 凸优化： 目标函数 f0 和约束函数 f1,⋯,fn 均是凸函数

  1. 线性凸优化
  2. 非线性凸优化
     a. 等式约束
     b. 无约束
     c. 不等式约束

• 二次规划(QP) ： 目标函数 f0 是凸且二次型；约束函数是仿射函数时(线性函数) => 二次规划

  min(12)xTPx+qTx+r
  subjecttoGx⪯h;Ax=b

=> 二次规划等结余在多面体上极小化一个凸二次函数

• 二次约束二次规划(QCQP): 目标函数和约束函数均是（凸）二次型

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凸优化的基本理论

• 凸集->凸函数->凸优化
• 仿射集： 集合C内的任意两点的直线，仍在凸集=>仿射集(直线，平面，超平面)
• 仿射包；内点；相对内点
• 凸集： 集合C内的任意两点的线段，仍在集合

• 锥；锥包（过原点的射线，射线族，角）

• 超平面 ： {x|aTx=b}

• 半平面： {x|aTx≤b}
• 多面体（仿射集，射线，线段，半空间）=> 多面体是凸集

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• 保凸运算

  1. 集合的交运算
  2. 仿射函数(类比线性运算)
  3. 透视函数（单位向量化，舍弃最后一个等于1的向量）
  4. 投射函数( 线性分段函数)

• 分割超平面： 定义集合C和集合D最短线段的垂直平分线

• 支持超平面: 集合C的边界上的点的切线(面)

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凸函数基本问题

• f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y)

  1. f 一阶可微； f(y)≤f(x)+▽f(x)T(y−x) ; 一阶Taylor 展开为其下估计
  2. f 二阶可微: ▽f(x)2 : （1） f 是一元函数，上式大于0; (2) f 多元函数，上式二阶Hessian半正定；

• 上境图： 一个函数是凸函数，当且仅当其上境图是凸集

• Jensen不等式：

  f(θ1x1+⋯+θkxk)≤θ1f(x1)+⋯+θkf(xk)

  <=> f(Ex)≤E(f(x))

• 保凸运算
  1. 凸函数的非负加权: f(x)=ω1f1(x)+⋯+ωnfn(x)
  2. 仿射函数: g(x)=f(Ax+b)
  3. 凸函数逐点最大值，逐点上确界
  f(x)=max(f1(x),⋯,fn(x));f(x)=supy∈Ag(x,y)

  => 建立凸函数的方法： 将其表示为一族仿射函数的逐点上确界

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• 共轭函数

  f∗(y)=supx∈domf(yTx−f(x))
  右侧是关于y的仿射函数，对仿射函数逐点求上确界，则得到的函数 f∗(y) 是凸函数

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凸优化

• minf0(x)
  S.t. fi(x)≤0,i=1,...,m; hj(x)=0,j=1,...p

• 可行点（解）；可行域；最优化值；最优化解

• 凸优化的局部最优=全局最优

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对偶问题

• minf0(x)
  S.t. fi(x)≤0,i=1,...,m; hj(x)=0,j=1,...p

• Lagrange函数
  L(x,λ,ν)=f0(x)+∑i=1mλifi(x)+∑j=1pνjhj(x)
  固定x，则 Lagrange函数 是关于 λ 和 ν 的仿射函数

• Lagrange函数 的对偶函数

  g(λ,ν)=infx∈D(f0(x)+∑i=1mλifi(x)+∑j=1pvihi(x))

• 在可行域逐点求下确界，得到的 Lagrange函数 的对偶函数是凹函数；

• g(λ,ν)≤p∗ => 对偶函数小于等于最优值